Найдите ,tg(П/4 -a),если sina =-8/17 и a-угол 3 четверти

Для того чтобы найти \(\tan\left(\frac{\pi}{4} - a\right)\) при заданном \(\sin a = -\frac{8}{17}\) и угле \(a\) в третьей четверти, будем использовать формулу для нахождения тангенса разности углов: \[ \tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \] В нашем случае \(A = \frac{\pi}{4}\) и \(B = a\). ### Шаг 1: Найдём \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\) Значение \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)\) равно 1, так как: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1 \] ### Шаг 2: Найдём \(\cos a\) У нас есть \(\sin a = -\frac{8}{17}\), но нам нужно найти \(\cos a\). Мы можем воспользоваться тригонометрической тождество: \[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \] Подставим значение \(\sin a\): \[ \left(-\frac{8}{17}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \] \[ \frac{64}{289} + \cos^2 a = 1 \] Вычтем \(\frac{64}{289}\) из 1: \[ \cos^2 a = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289}{289} - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} \] Теперь найдём \(\cos a\): \[ \cos a = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17} \] (Отрицательное значение, так как угол \(a\) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен.) ### Шаг 3: Найдём \(\tan a\) Теперь найдём \(\tan a\): \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{8}{17}}{-\frac{15}{17}} = \frac{8}{15} \] ### Шаг 4: Подставим в формулу Теперь подставим значения в формулу для тангенса разности: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} - a\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan a}{1 + \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan a} = \frac{1 - \frac{8}{15}}{1 + 1 \cdot \frac{8}{15}} \] Посчитаем числитель: \[ 1 - \frac{8}{15} = \frac{15}{15} - \frac{8}{15} = \frac{7}{15} \] И знаменатель: \[ 1 + \frac{8}{15} = \frac{15}{15} + \frac{8}{15} = \frac{23}{15} \] ### Шаг 5: Получаем результат Теперь подставим значения в дробь: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} - a\right) = \frac{\frac{7}{15}}{\frac{23}{15}} = \frac{7}{23} \] ### Ответ: \[ \tan\left(\frac{\pi}{4} - a\right) = \frac{7}{23} \]