Построй график функции

Чтобы построить график функции \( y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7 \), следуйте этим шагам: ### 1. Анализ функции #### Найдем производную: Функция: \( y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7 \). Производная: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + x^2 - 8x - 7) = 6x^2 + 2x - 8. \] #### Найдем критические точки: Решаем уравнение: \[ 6x^2 + 2x - 8 = 0. \] Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-8) = 4 + 192 = 196. \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 14}{12}. \] Решаем: - \( x_1 = \frac{-2 + 14}{12} = \frac{12}{12} = 1 \), - \( x_2 = \frac{-2 - 14}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3} \). ### 2. Исследуем поведение функции #### Знаки производной: - Интервалы: \( (-\infty, -\frac{4}{3}), (-\frac{4}{3}, 1), (1, \infty) \). - Определяем знак производной на каждом интервале: - На промежутке \( (-\infty, -\frac{4}{3}) \), \( y' > 0 \). - На промежутке \( (-\frac{4}{3}, 1) \), \( y' < 0 \). - На промежутке \( (1, \infty) \), \( y' > 0 \). - Критическая точка \( x = 1 \) — минимум. - Критическая точка \( x = -\frac{4}{3} \) — максимум. ### 3. Исследуем второй порядок производной Для анализа выпуклости и точек перегиба: \[ y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 + 2x - 8) = 12x + 2. \] - \( y'' = 0 \) при \( x = -\frac{1}{6} \). - На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{6}) \), \( y'' < 0 \) — функция вогнутая. - На интервале \( (-\frac{1}{6}, \infty) \), \( y'' > 0 \) — функция выпуклая. ### 4. Построение графика 1. **Критические точки:** \( x = -\frac{4}{3} \) — максимум, \( x = 1 \) — минимум. 2. **Пересечение с осями**: - \( y \)-пересечение, подставляя \( x = 0 \): \( y = -7 \). На основании всех данных можно построить график функции, учитывая все найденные точки и интервалы роста и убывания. Для наглядного представления используйте графический калькулятор или математическое программное обеспечение.