решить

Для решения задачи нам нужно найти угол между прямой \( CD \) и плоскостью \( ABD \), рассматривая треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle ABD \).

Дано:

1. \( BD \perp (ABC) \)
2. Треугольник \( \triangle ABC \) прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \))
3. Треугольник \( \triangle ABD \) прямоугольный (\( \angle A = 90^\circ \))
4. \( \triangle ABC \) равносторонний

Решение:

1. Определение прямой и плоскости:

   • Поскольку \( BD \perp (ABC) \), прямая \( BD \) перпендикулярна плоскости \( ABC \). Это значит, что плоскость \( (ABD) \) перпендикулярна плоскости \( (ABC) \).

2. Угол между прямой \( CD \) и плоскостью \( ABD \):

   • Прямая \( CD \) лежит в плоскости \( (ABC) \), а так как плоскость \( (ABD) \) перпендикулярна плоскости \( (ABC) \), угол между прямой \( CD \) и плоскостью \( (ABD) \) соответствует углу между прямой \( CD \) и прямой \( BD \).

3. Определение угла \( \angle CDB \):

   • Поскольку треугольник \( \triangle ABC \) равносторонний, стороны \( AB = BC = AC \).
   • Углы \( \angle ABC = \angle BCA = \angle CAB = 60^\circ \).
   • Прямой угол \( \angle C = 90^\circ \) в данном контексте создается за счет пространственного расположения относительно \( BD \).
   • Однако поскольку \( BD \perp (ABC) \) и \( \triangle ABD \) является прямоугольным, то угол между \( CD \) и \( BD \) в пространстве — действительно \( 90^\circ \).

Вывод:

Угол между прямой \( CD \) и плоскостью \( ABD \) равен \( 90^\circ \).