5cos^2x-cosx-4=0

Чтобы решить уравнение \( 5\cos^2 x - \cos x - 4 = 0 \), давайте выполним его пошаговое решение, как если бы мы работали с алгебрическим уравнением во 10 классе. ### Шаг 1: Подстановка переменной Для удобства, мы можем сделать замену переменной. Обозначим \( y = \cos x \). Теперь уравнение примет вид: \[ 5y^2 - y - 4 = 0 \] ### Шаг 2: Применение формулы квадратного уравнения У нас теперь есть стандартное квадратное уравнение \( ay^2 + by + c = 0 \), где: - \( a = 5 \) - \( b = -1 \) - \( c = -4 \) Для нахождения корней квадратного уравнения мы используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Подставим наши значения: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 \] ### Шаг 3: Нахождение корней уравнения Дискриминант положительный (\( D > 0 \)), значит, у уравнения два различных корня. Нахождение корней осуществляется по формуле: \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1 \] \[ y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8 \] Теперь у нас есть два корня: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = -0.8 \). ### Шаг 4: Обратная подстановка Теперь нам нужно возвратиться к первоначальной переменной \( \cos x \): 1. **Для \( y_1 = 1 \)**: \[ \cos x = 1 \] Это происходит, когда \( x = 2k\pi \), где \( k \) — любое целое число. 2. **Для \( y_2 = -0.8 \)**: \[ \cos x = -0.8 \] Для этого значения мы используем арккосинус: \[ x = \arccos(-0.8) \] Используя калькулятор, получаем, что: \[ x \approx 2.498 \text{ радиан} \] Также нужно помнить, что \( \cos x \) имеет период \( 2\pi \), и мы можем добавить \( 2k\pi \) для поиска всех решений. Кроме того, учитывая, что косинус является отрицательным, у нас есть еще одно решение в третьем квадрате: \[ x = 2\pi - \arccos(-0.8) \approx 5.785 \text{ радиан} \] ### Шаг 5: Полный набор решений Таким образом, все решения данного уравнения имеют вид: 1. \( x = 2k\pi \) для \( y_1 = 1 \) 2. \( x \approx 2.498 + 2k\pi \) и \( x \approx 5.785 + 2k\pi \) для \( y_2 = -0.8 \), где \( k \) — любое целое число. Теперь у вас есть способ решить данное уравнение и понять все шаги, которые были предприняты! Если у вас есть ещё вопросы или нужна помощь с другой задачей, не стесняйтесь спрашивать!