5cos^2x-cosx-4=0
Чтобы решить уравнение \( 5\cos^2 x - \cos x - 4 = 0 \), давайте выполним его пошаговое решение, как если бы мы работали с алгебрическим уравнением во 10 классе.
Шаг 1: Подстановка переменной
Для удобства, мы можем сделать замену переменной. Обозначим \( y = \cos x \). Теперь уравнение примет вид:
\[ 5y^2 - y - 4 = 0 \]
Шаг 2: Применение формулы квадратного уравнения
У нас теперь есть стандартное квадратное уравнение \( ay^2 + by + c = 0 \), где:
- \( a = 5 \)
- \( b = -1 \)
- \( c = -4 \)
Для нахождения корней квадратного уравнения мы используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим наши значения:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 \]
Шаг 3: Нахождение корней уравнения
Дискриминант положительный (\( D > 0 \)), значит, у уравнения два различных корня. Нахождение корней осуществляется по формуле:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1 \] \[ y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8 \]
Теперь у нас есть два корня: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = -0.8 \).
Шаг 4: Обратная подстановка
Теперь нам нужно возвратиться к первоначальной переменной \( \cos x \):
Для \( y_1 = 1 \): \[ \cos x = 1 \] Это происходит, когда \( x = 2k\pi \), где \( k \) — любое целое число.
Для \( y_2 = -0.8 \): \[ \cos x = -0.8 \] Для этого значения мы используем арккосинус: \[ x = \arccos(-0.8) \] Используя калькулятор, получаем, что: \[ x \approx 2.498 \text{ радиан} \] Также нужно помнить, что \( \cos x \) имеет период \( 2\pi \), и мы можем добавить \( 2k\pi \) для поиска всех решений. Кроме того, учитывая, что косинус является отрицательным, у нас есть еще одно решение в третьем квадрате: \[ x = 2\pi - \arccos(-0.8) \approx 5.785 \text{ радиан} \]
Шаг 5: Полный набор решений
Таким образом, все решения данного уравнения имеют вид:
- \( x = 2k\pi \) для \( y_1 = 1 \)
- \( x \approx 2.498 + 2k\pi \) и \( x \approx 5.785 + 2k\pi \) для \( y_2 = -0.8 \), где \( k \) — любое целое число.
Теперь у вас есть способ решить данное уравнение и понять все шаги, которые были предприняты! Если у вас есть ещё вопросы или нужна помощь с другой задачей, не стесняйтесь спрашивать!
