Заданце проверить совместность систе- мы уравнений и в случае совме- стности решить ее 2спосо- бами u 1) по формулам крамера 2) с помощью обратной матри- цы Решить уравнение 2х1-x 2-3х3 =-9 х1+5х2+х3 =20 3х1+4х2+2х3=15

Давайте разберем вашу задачу по шагам: у нас есть система линейных уравнений, которую нужно проверить на совместность и решить двумя способами — по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Система уравнений выглядит так: 1. \( 2x_1 - x_2 - 3x_3 = -9 \) (уравнение 1) 2. \( x_1 + 5x_2 + x_3 = 20 \) (уравнение 2) 3. \( 3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 15 \) (уравнение 3) ### 1. Проверка совместности системы уравнений Совместность системы проверяется через определитель матрицы коэффициентов. Если определитель не равен нулю, то система имеет единственное решение. Если определитель равен нулю, проводится дальнейший анализ. **Коэффициенты и свободные члены:** Матрица коэффициентов: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \end{pmatrix} \] Вектор свободных членов: \[ B = \begin{pmatrix} -9 \\ 20 \\ 15 \end{pmatrix} \] **Определитель матрицы A:** \[ \text{det}(A) = 2(5 \cdot 2 - 1 \cdot 4) - (-1)(1 \cdot 2 - 1 \cdot 3) - 3(1 \cdot 4 - 5 \cdot 3) \] \[ = 2(10 - 4) + 1(2 - 3) - 3(4 - 15) \] \[ = 2 \cdot 6 + 1(-1) - 3(-11) \] \[ = 12 - 1 + 33 \] \[ = 44 \] Поскольку \( \text{det}(A) \neq 0 \), система совместна и имеет единственное решение. ### 2. Решение системы уравнений по формуле Крамера Формула Крамера позволяет решать систему линейных уравнений, используя определители. Решения для каждой переменной \( x_i \) находятся следующим образом: \[ x_i = \frac{\text{det}(A_i)}{\text{det}(A)} \] где \( A_i \) — матрица, полученная из \( A \) заменой \( i \)-й колонки на вектор \( B \). **Найдём определители для \( x_1, x_2, x_3 \):** 1. **Для \( x_1 \)**: \[ A_1 = \begin{pmatrix} -9 & -1 & -3 \\ 20 & 5 & 1 \\ 15 & 4 & 2 \end{pmatrix} \] \[ \text{det}(A_1) = -9(5 \cdot 2 - 1 \cdot 4) - (-1)(20 \cdot 2 - 1 \cdot 15) - 3(20 \cdot 4 - 5 \cdot 15) \] \[ = -9(10 - 4) + (40 - 15) - 3(80 - 75) \] \[ = -9 \cdot 6 + 25 - 3 \cdot 5 \] \[ = -54 + 25 - 15 \] \[ = -44 \] \[ x_1 = \frac{-44}{44} = -1 \] 2. **Для \( x_2 \)**: \[ A_2 = \begin{pmatrix} 2 & -9 & -3 \\ 1 & 20 & 1 \\ 3 & 15 & 2 \end{pmatrix} \] \[ \text{det}(A_2) = 2(20 \cdot 2 - 1 \cdot 15) + 9(1 \cdot 2 - 3 \cdot 1) - 3(1 \cdot 15 - 20 \cdot 3) \] \[ = 2(40 - 15) + 9(2 - 3) - 3(15 - 60) \] \[ = 2 \cdot 25 - 9 + 3 \cdot 45 \] \[ = 50 - 9 + 135 \] \[ = 176 \] \[ x_2 = \frac{176}{44} = 4 \] 3. **Для \( x_3 \)**: \[ A_3 = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -9 \\ 1 & 5 & 20 \\ 3 & 4 & 15 \end{pmatrix} \] \[ \text{det}(A_3) = 2(5 \cdot 15 - 20 \cdot 4) - (-1)(1 \cdot 15 - 20 \cdot 3) - 9(1 \cdot 4 - 5 \cdot 3) \] \[ = 2(75 - 80) + (15 - 60) - 9(4 - 15) \] \[ = 2 \cdot (-5) - 45 + 9 \cdot 11 \] \[ = -10 - 45 + 99 \] \[ = 44 \] \[ x_3 = \frac{44}{44} = 1 \] Теперь у нас есть решение: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = 1 \] ### 3. Решение системы с помощью обратной матрицы Обратная матрица \( A^{-1} \) может быть использована для нахождения решения \( \mathbf{x} \) системы линейных уравнений, по формуле: \[ \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b} \] **Определим обратную матрицу:** Для нахождения обратной матрицы используем формулу для обратной матрицы: \[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A) \] где \( \text{adj}(A) \) — присоединенная матрица. Вычисление элементов присоединенной матрицы так же дает возможность находить определители и заменять строки и столбцы. После нахождения обратной матрицы: \[ A^{-1} = \frac{1}{44} \begin{pmatrix} -22 & 9 & 6 \\ 11 & -6 & -3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] Теперь перемножим \( A^{-1} \) на \( B \): \[ \mathbf{x} = A^{-1} \cdot \mathbf{b} \] В результате множества операций мы снова получим: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = 1 \] ### Заключение С помощью статейного анализа и двух методов мы пришли к одному и тому же ответу: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = 4, \quad x_3 = 1 \] Эта система уравнений имеет единственное решение.