Решим эту задачу поэтапно.
Шаг 1: Понимание задачи.
Мирослав бросил мяч-попрыгунчик, который после первого отскока поднялся на высоту 270 см. После каждого следующего отскока мяч поднимается на высоту, которая в 3 раза меньше предыдущей. Нам нужно узнать, после какого по счёту отскока высота отскока станет меньше 12 см.
Шаг 2: Определение последовательности высот.
Начальная высота отскока — 270 см. Обозначим высоту после n-го отскока как ( h_n ). Тогда можно записать:
- ( h_1 = 270 ) см
- ( h_2 = \frac{270}{3} = 90 ) см
- ( h_3 = \frac{90}{3} = 30 ) см
- ( h_4 = \frac{30}{3} = 10 ) см
Шаг 3: Общая формула.
Мы заметили, что высота каждого следующего отскока может быть выражена формулой:
[ h_n = \frac{270}{3^{n-1}} ]
где ( n ) — номер отскока.
Шаг 4: Условие задачи.
Необходимо найти наименьшее значение ( n ), при котором ( h_n < 12 ) см. Это означает:
[ \frac{270}{3^{n-1}} < 12 ]
Шаг 5: Перепишем неравенство.
Умножим обе стороны на ( 3^{n-1} ) (поскольку оно положительно):
[ 270 < 12 \cdot 3^{n-1} ]
Теперь разделим обе стороны на 12:
[ \frac{270}{12} < 3^{n-1} ]
Подсчитаем ( \frac{270}{12} ):
[ \frac{270}{12} = 22.5 ]
Таким образом, неравенство будет:
[ 22.5 < 3^{n-1} ]
Шаг 6: Поиск n.
Теперь нужно выразить ( n-1 ) через логарифм:
Чтобы решить это неравенство, возьмем логарифм от обеих сторон:
[ \log(22.5) < (n-1) \log(3) ]
Следовательно:
[ n-1 > \frac{\log(22.5)}{\log(3)} ]
Теперь посчитаем ( \log(22.5) ) и ( \log(3) ):
- Приблизительно ( \log(22.5) \approx 1.352 )
- Приблизительно ( \log(3) \approx 0.477 )
Теперь подставим:
[ n-1 > \frac{1.352}{0.477} ]
Вызывая расчет:
[ n-1 > 2.83 ]
То есть:
[ n > 3.83 ]
Так как ( n ) должно быть целым числом, округляем до следующего целого:
[ n = 4 ]
Шаг 7: Проверка результата.
Теперь проверим высоты:
- ( h_3 = 30 ) см (больше 12 см)
- ( h_4 = 10 ) см (меньше 12 см)
Таким образом, высота отскока ниже 12 см становится на четвертом отскоке.
Ответ: высота, на которую подлетел мячик, стала меньше 12 см после 4-го отскока.
