Мирослав со всей силы бросил об асфальт мяч-попрыгунчик. После первого отскока мячик подлетел на высоту 270 270 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на…

Решим эту задачу поэтапно.

Шаг 1: Понимание задачи.
Мирослав бросил мяч-попрыгунчик, который после первого отскока поднялся на высоту 270 см. После каждого следующего отскока мяч поднимается на высоту, которая в 3 раза меньше предыдущей. Нам нужно узнать, после какого по счёту отскока высота отскока станет меньше 12 см.

Шаг 2: Определение последовательности высот.
Начальная высота отскока — 270 см. Обозначим высоту после n-го отскока как \( h_n \). Тогда можно записать:

• \( h_1 = 270 \) см
• \( h_2 = \frac{270}{3} = 90 \) см
• \( h_3 = \frac{90}{3} = 30 \) см
• \( h_4 = \frac{30}{3} = 10 \) см

Шаг 3: Общая формула.
Мы заметили, что высота каждого следующего отскока может быть выражена формулой:
\[ h_n = \frac{270}{3^{n-1}} \]
где \( n \) — номер отскока.

Шаг 4: Условие задачи.
Необходимо найти наименьшее значение \( n \), при котором \( h_n < 12 \) см. Это означает:

\[ \frac{270}{3^{n-1}} < 12 \]

Шаг 5: Перепишем неравенство.
Умножим обе стороны на \( 3^{n-1} \) (поскольку оно положительно):

\[ 270 < 12 \cdot 3^{n-1} \]

Теперь разделим обе стороны на 12:

\[ \frac{270}{12} < 3^{n-1} \]

Подсчитаем \( \frac{270}{12} \):

\[ \frac{270}{12} = 22.5 \]

Таким образом, неравенство будет:

\[ 22.5 < 3^{n-1} \]

Шаг 6: Поиск n.
Теперь нужно выразить \( n-1 \) через логарифм:

Чтобы решить это неравенство, возьмем логарифм от обеих сторон:
\[ \log(22.5) < (n-1) \log(3) \]

Следовательно:

\[ n-1 > \frac{\log(22.5)}{\log(3)} \]

Теперь посчитаем \( \log(22.5) \) и \( \log(3) \):

• Приблизительно \( \log(22.5) \approx 1.352 \)
• Приблизительно \( \log(3) \approx 0.477 \)

Теперь подставим:

\[ n-1 > \frac{1.352}{0.477} \]

Вызывая расчет:

\[ n-1 > 2.83 \]

То есть:

\[ n > 3.83 \]

Так как \( n \) должно быть целым числом, округляем до следующего целого:

\[ n = 4 \]

Шаг 7: Проверка результата.
Теперь проверим высоты:

• \( h_3 = 30 \) см (больше 12 см)
• \( h_4 = 10 \) см (меньше 12 см)

Таким образом, высота отскока ниже 12 см становится на четвертом отскоке.

Ответ: высота, на которую подлетел мячик, стала меньше 12 см после 4-го отскока.