Для решения данной задачи нужно найти предел выражения
[
\lim_{n \to \infty} \frac{n + n^2}{n - 8 - n^2}.
]
Шаг 1: Упростим выражение.
В числителе у нас ( n + n^2 ), а в знаменателе ( n - 8 - n^2 ). Заметим, что для больших значений ( n ) второй член (то есть ( n^2 )) будет преобладать в обоих частях.
Шаг 2: Вынесем ( n^2 ) как общий множитель из числителя и знаменателя.
В числителе:
[
n + n^2 = n^2 + n = n^2(1 + \frac{1}{n}).
]
В знаменателе:
[
n - 8 - n^2 = -n^2 + n - 8 = -n^2(1 - \frac{1}{n} - \frac{8}{n^2}).
]
Теперь можем переписать предел в следующем виде:
[
\lim_{n \to \infty} \frac{n^2(1 + \frac{1}{n})}{-n^2(1 - \frac{1}{n} - \frac{8}{n^2})}.
]
Шаг 3: Упростим дробь.
[
= \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{-(1 - \frac{1}{n} - \frac{8}{n^2})}.
]
Шаг 4: Подставляем ( n \to \infty ).
Когда ( n ) стремится к бесконечности, (\frac{1}{n} \to 0) и (\frac{8}{n^2} \to 0). Таким образом, предел становится:
[
\frac{1 + 0}{-(1 - 0 - 0)} = \frac{1}{-1} = -1.
]
Итак, окончательный ответ:
[
\lim_{n \to \infty} \frac{n + n^2}{n - 8 - n^2} = -1.
]
Если у вас есть дополнительные вопросы по данной задаче или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
