lim(n+n2) (n-8-n2)

Для решения данной задачи нужно найти предел выражения

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n + n^2}{n - 8 - n^2}. \]

Шаг 1: Упростим выражение.

В числителе у нас \( n + n^2 \), а в знаменателе \( n - 8 - n^2 \). Заметим, что для больших значений \( n \) второй член (то есть \( n^2 \)) будет преобладать в обоих частях.

Шаг 2: Вынесем \( n^2 \) как общий множитель из числителя и знаменателя.

В числителе:

\[ n + n^2 = n^2 + n = n^2(1 + \frac{1}{n}). \]

В знаменателе:

\[ n - 8 - n^2 = -n^2 + n - 8 = -n^2(1 - \frac{1}{n} - \frac{8}{n^2}). \]

Теперь можем переписать предел в следующем виде:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2(1 + \frac{1}{n})}{-n^2(1 - \frac{1}{n} - \frac{8}{n^2})}. \]

Шаг 3: Упростим дробь.

\[ = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{-(1 - \frac{1}{n} - \frac{8}{n^2})}. \]

Шаг 4: Подставляем \( n \to \infty \).

Когда \( n \) стремится к бесконечности, \(\frac{1}{n} \to 0\) и \(\frac{8}{n^2} \to 0\). Таким образом, предел становится:

\[ \frac{1 + 0}{-(1 - 0 - 0)} = \frac{1}{-1} = -1. \]

Итак, окончательный ответ:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n + n^2}{n - 8 - n^2} = -1. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по данной задаче или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!