Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось три броска?

Решим задачу о вероятности того, что сумма очков при бросках игральной кости превысит 3 на третьем броске.

Для начала определим, что произойдет в каждом броске. Игральная кость имеет 6 граней, и на каждой грани числится от 1 до 6. Мы бросаем кость до тех пор, пока сумма выпавших очков не станет больше 3.

Шаг 1: Возможные исходы

Чтобы сумма очков превысила 3 на третьем броске, должны произойти следующие условия:

1. Сумма очков первых двух бросков должна быть равной 2 или 3.
2. На третьем броске нужно получить такое значение, которое добавит к сумме более 3.

Шаг 2: Вычислим возможные исходы для первых двух бросков

1. Сумма первых двух бросков равна 2: Это возможно только в случае, если оба броска выпали 1:

• Бросок 1: 1
• Бросок 2: 1
• Бросок 3: может быть от 1 до 6, чтобы сумма стала более 3. То есть, на третьем броске нам подойдет любой результат от 3 до 6.

Количество благоприятных исходов (3, 4, 5, 6) = 4.

Вероятность этого случая:

• Вероятность получить 1 в первом броске = \( \frac{1}{6} \)
• Вероятность получить 1 во втором броске = \( \frac{1}{6} \)
• Вероятность получить 3, 4, 5 или 6 в третьем броске = \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

Общая вероятность данного исхода: \[ P(сумма = 2) = \left( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{4}{6} \right) = \frac{4}{216} = \frac{1}{54} \]

2. Сумма первых двух бросков равна 3: Вот несколько вариантов, как это можно получить:

• Бросок 1: 1, Бросок 2: 2
• Бросок 1: 2, Бросок 2: 1
• Бросок 1: 1, Бросок 2: 1 (но это мы уже учли) и также:
• Бросок 1: 3, Бросок 2: 0 (но мы не можем выбросить 0)

Итак, имеем следующие благоприятные комбинации:

• (1, 2): на третьем броске 1, 2 или 3. Возможности: 1 (недостаточно), 2 (недостаточно), 3 (подходит), 4, 5, 6 (все подходят) = 4 варианта.
• (2, 1): аналогично 4 варианта.

В итоге: комбинации (1, 2) и (2, 1) дают 4 возможности каждая, всего 8 возможных результатов.

Общая вероятность данного исхода: \[ P(сумма = 3) = \left( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{4}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{4}{6} \right) = 8 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{216} = \frac{2}{27} \]

Шаг 3: Сложим все вероятности

Сложим вероятности из двух шагов: \[ P(сумма > 3 на третьем броске) = \frac{1}{54} + \frac{2}{27} \]

Приведем к общему знаменателю (54): \[ P = \frac{1}{54} + \frac{4}{54} = \frac{5}{54} \]

Ответ

Вероятность того, что для этого потребовалось три броска, составляет \( \frac{5}{54} \) или примерно 0.0926.