Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось три броска?

Решим задачу о вероятности того, что сумма очков при бросках игральной кости превысит 3 на третьем броске. Для начала определим, что произойдет в каждом броске. Игральная кость имеет 6 граней, и на каждой грани числится от 1 до 6. Мы бросаем кость до тех пор, пока сумма выпавших очков не станет больше 3. ### Шаг 1: Возможные исходы Чтобы сумма очков превысила 3 на третьем броске, должны произойти следующие условия: 1. Сумма очков первых двух бросков должна быть равной 2 или 3. 2. На третьем броске нужно получить такое значение, которое добавит к сумме более 3. ### Шаг 2: Вычислим возможные исходы для первых двух бросков **1. Сумма первых двух бросков равна 2:** Это возможно только в случае, если оба броска выпали 1: - Бросок 1: 1 - Бросок 2: 1 - Бросок 3: может быть от 1 до 6, чтобы сумма стала более 3. То есть, на третьем броске нам подойдет любой результат от 3 до 6. Количество благоприятных исходов (3, 4, 5, 6) = 4. **Вероятность этого случая:** - Вероятность получить 1 в первом броске = \( \frac{1}{6} \) - Вероятность получить 1 во втором броске = \( \frac{1}{6} \) - Вероятность получить 3, 4, 5 или 6 в третьем броске = \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) Общая вероятность данного исхода: \[ P(сумма = 2) = \left( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{4}{6} \right) = \frac{4}{216} = \frac{1}{54} \] **2. Сумма первых двух бросков равна 3:** Вот несколько вариантов, как это можно получить: - Бросок 1: 1, Бросок 2: 2 - Бросок 1: 2, Бросок 2: 1 - Бросок 1: 1, Бросок 2: 1 (но это мы уже учли) и также: - Бросок 1: 3, Бросок 2: 0 (но мы не можем выбросить 0) Итак, имеем следующие благоприятные комбинации: - (1, 2): на третьем броске 1, 2 или 3. Возможности: 1 (недостаточно), 2 (недостаточно), 3 (подходит), 4, 5, 6 (все подходят) = 4 варианта. - (2, 1): аналогично 4 варианта. В итоге: комбинации (1, 2) и (2, 1) дают 4 возможности каждая, всего 8 возможных результатов. **Общая вероятность данного исхода:** \[ P(сумма = 3) = \left( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{4}{6} \right) + \left( \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{4}{6} \right) = 8 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{216} = \frac{2}{27} \] ### Шаг 3: Сложим все вероятности Сложим вероятности из двух шагов: \[ P(сумма > 3 на третьем броске) = \frac{1}{54} + \frac{2}{27} \] Приведем к общему знаменателю (54): \[ P = \frac{1}{54} + \frac{4}{54} = \frac{5}{54} \] ### Ответ Вероятность того, что для этого потребовалось три броска, составляет \( \frac{5}{54} \) или примерно 0.0926.