14.6
Давайте найдем производные для функций, указанных в задаче.
a) \( f(x) = \frac{x^2 - 2x}{3 + x^2} \)
Для нахождения производной дробной функции используем правило дифференцирования частного:
\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
где \( u = x^2 - 2x \) и \( v = 3 + x^2 \).
Найдем производные:
\( u' = (x^2 - 2x)' = 2x - 2 \)
\( v' = (3 + x^2)' = 2x \)Применим правило:
\[ f'(x) = \frac{(2x - 2)(3 + x^2) - (x^2 - 2x)(2x)}{(3 + x^2)^2} \]Упростим числитель:
\((2x - 2)(3 + x^2) = 6x - 2x^3 + 6 - 2x^2\)
\((x^2 - 2x)(2x) = 2x^3 - 4x^2\)Получаем:
\[ f'(x) = \frac{6x - 2x^3 + 6 - 2x^2 - 2x^3 + 4x^2}{(3 + x^2)^2} = \frac{-4x^3 + 2x^2 + 6x + 6}{(3 + x^2)^2} \]
б) \( f(x) = \frac{16 - x^4}{x^2 - 4} \)
Используем правило дифференцирования частного:
Пусть \( u = 16 - x^4 \) и \( v = x^2 - 4 \).
Найдем производные:
\( u' = (16 - x^4)' = -4x^3 \)
\( v' = (x^2 - 4)' = 2x \)Применим правило:
\[ f'(x) = \frac{(-4x^3)(x^2 - 4) - (16 - x^4)(2x)}{(x^2 - 4)^2} \]Упростим числитель:
\((-4x^3)(x^2 - 4) = -4x^5 + 16x^3\)
\(-(16 - x^4)(2x) = -32x + 2x^5\)Получаем:
\[ f'(x) = \frac{-4x^5 + 16x^3 - 32x + 2x^5}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-2x^5 + 16x^3 - 32x}{(x^2 - 4)^2} \]
в) \( f(x) = \frac{3x^3 - 1}{x^3} \)
Упростим функцию перед нахождением производной:
\[ f(x) = \frac{3x^3}{x^3} - \frac{1}{x^3} = 3 - x^{-3} \]
Теперь найдем производную:
\[ f'(x) = (3)' - (x^{-3})' = 0 + 3x^{-4} = 3x^{-4} \]
г) \( f(x) = \frac{x^2}{x^4 + 1} \)
Опять используем правило дифференцирования частного:
Пусть \( u = x^2 \) и \( v = x^4 + 1 \).
Найдем производные:
\( u' = (x^2)' = 2x \)
\( v' = (x^4 + 1)' = 4x^3 \)Применим правило:
\[ f'(x) = \frac{2x(x^4 + 1) - x^2(4x^3)}{(x^4 + 1)^2} \]Упростим числитель:
\(2x(x^4 + 1) = 2x^5 + 2x\)
\(x^2(4x^3) = 4x^5\)Получаем:
\[ f'(x) = \frac{2x^5 + 2x - 4x^5}{(x^4 + 1)^2} = \frac{-2x^5 + 2x}{(x^4 + 1)^2} \]
Это завершает решение задачи 14.6 с нахождением производных для всех данных функций.
