Реши

Для решения задачи найдем производные каждой из предложенных функций. ### a) \( f(x) = \frac{x^2 - 2x}{3 + x^2} \) Используем правило нахождения производной от частного: Если \( y = \frac{u}{v} \), то \( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). Здесь \( u = x^2 - 2x \) и \( v = 3 + x^2 \). 1. Найдем \( u' \) и \( v' \): - \( u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 \) - \( v' = \frac{d}{dx}(3 + x^2) = 2x \) 2. Подставим в формулу производной: \[ f'(x) = \frac{(2x - 2)(3 + x^2) - (x^2 - 2x)(2x)}{(3 + x^2)^2} \] 3. Упрощаем выражение: \[ f'(x) = \frac{(6x + 2x^3 - 6 - 2x^2) - (2x^3 - 4x^2)}{(3 + x^2)^2} \] \[ = \frac{6x + 2x^3 - 6 - 2x^2 - 2x^3 + 4x^2}{(3 + x^2)^2} \] \[ = \frac{6x + 2x^2 - 6}{(3 + x^2)^2} \] ### б) \( f(x) = \frac{16 - x^4}{x^2 - 4} \) Тоже используем правило производной частного: 1. \( u = 16 - x^4 \), \( v = x^2 - 4 \) 2. Найдем \( u' \) и \( v' \): - \( u' = -4x^3 \) - \( v' = 2x \) 3. Найдем производную: \[ f'(x) = \frac{(-4x^3)(x^2 - 4) - (16 - x^4)(2x)}{(x^2 - 4)^2} \] \[ = \frac{-4x^5 + 16x^3 - 32x + 2x^5}{(x^2 - 4)^2} \] \[ = \frac{-2x^5 + 16x^3 - 32x}{(x^2 - 4)^2} \] ### в) \( f(x) = \frac{3x^3 - 1}{x^3} \) Можно упростить перед взятием производной: \[ f(x) = 3 - \frac{1}{x^3} \] 1. Найдем производную: - \( f'(x) = 0 + \frac{3}{x^4} = \frac{3}{x^4} \) ### г) \( f(x) = \frac{x^2}{x^4 + 1} \) Опять применим правило производной частного: 1. \( u = x^2 \), \( v = x^4 + 1 \) 2. Найдем \( u' \) и \( v' \): - \( u' = 2x \) - \( v' = 4x^3 \) 3. Найдем производную: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x^4 + 1) - (x^2)(4x^3)}{(x^4 + 1)^2} \] \[ = \frac{2x^5 + 2x - 4x^5}{(x^4 + 1)^2} \] \[ = \frac{-2x^5 + 2x}{(x^4 + 1)^2} \] Таким образом, мы нашли производные всех заданных функций.