Реши
Для решения задачи найдем производные каждой из предложенных функций.
a) \( f(x) = \frac{x^2 - 2x}{3 + x^2} \)
Используем правило нахождения производной от частного:
Если \( y = \frac{u}{v} \), то \( y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
Здесь \( u = x^2 - 2x \) и \( v = 3 + x^2 \).
Найдем \( u' \) и \( v' \):
- \( u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 2x) = 2x - 2 \)
- \( v' = \frac{d}{dx}(3 + x^2) = 2x \)
Подставим в формулу производной: \[ f'(x) = \frac{(2x - 2)(3 + x^2) - (x^2 - 2x)(2x)}{(3 + x^2)^2} \]
Упрощаем выражение: \[ f'(x) = \frac{(6x + 2x^3 - 6 - 2x^2) - (2x^3 - 4x^2)}{(3 + x^2)^2} \] \[ = \frac{6x + 2x^3 - 6 - 2x^2 - 2x^3 + 4x^2}{(3 + x^2)^2} \] \[ = \frac{6x + 2x^2 - 6}{(3 + x^2)^2} \]
б) \( f(x) = \frac{16 - x^4}{x^2 - 4} \)
Тоже используем правило производной частного:
\( u = 16 - x^4 \), \( v = x^2 - 4 \)
Найдем \( u' \) и \( v' \):
- \( u' = -4x^3 \)
- \( v' = 2x \)
Найдем производную: \[ f'(x) = \frac{(-4x^3)(x^2 - 4) - (16 - x^4)(2x)}{(x^2 - 4)^2} \]
\[ = \frac{-4x^5 + 16x^3 - 32x + 2x^5}{(x^2 - 4)^2} \] \[ = \frac{-2x^5 + 16x^3 - 32x}{(x^2 - 4)^2} \]
в) \( f(x) = \frac{3x^3 - 1}{x^3} \)
Можно упростить перед взятием производной: \[ f(x) = 3 - \frac{1}{x^3} \]
- Найдем производную:
- \( f'(x) = 0 + \frac{3}{x^4} = \frac{3}{x^4} \)
г) \( f(x) = \frac{x^2}{x^4 + 1} \)
Опять применим правило производной частного:
\( u = x^2 \), \( v = x^4 + 1 \)
Найдем \( u' \) и \( v' \):
- \( u' = 2x \)
- \( v' = 4x^3 \)
Найдем производную: \[ f'(x) = \frac{(2x)(x^4 + 1) - (x^2)(4x^3)}{(x^4 + 1)^2} \] \[ = \frac{2x^5 + 2x - 4x^5}{(x^4 + 1)^2} \] \[ = \frac{-2x^5 + 2x}{(x^4 + 1)^2} \]
Таким образом, мы нашли производные всех заданных функций.
