6. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 46, угол А равен 60°. Найдите АС.
Чтобы решить задачу, давайте вспомним свойства прямоугольного треугольника и некоторые тригонометрические функции.
У нас есть прямоугольный треугольник \( ABC \) с гипотенузой \( AB = 46 \) и углом \( A = 60^\circ \). Нам нужно найти сторону \( AC \).
Поскольку угол \( A \) — это один из острых углов, мы можем использовать тригонометрические функции, связанные с косинусом и синусом.
Определим стороны относительно углов.
- \( AB \) — гипотенуза
- \( AC \) — противолежащая сторона углу \( A \)
- \( BC \) — прилежащая сторона углу \( A \)
Используем синус для нахождения стороны \( AC \). Синус угла \( A \) определяется как: \[ \sin(A) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \] Подставим известные значения: \[ \sin(60^\circ) = \frac{AC}{46} \]
Из таблиц тригонометрических функций мы знаем, что \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Теперь у нас есть уравнение: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{AC}{46} \]
Решим уравнение для \( AC \). Умножим обе стороны уравнения на 46: \[ AC = 46 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ AC = 23\sqrt{3} \]
Итак, найдем значение. Подсчитаем \( AC \) численно: \[ AC \approx 23 \cdot 1.732 \approx 39.56 \] Таким образом, длина стороны \( AC \) приблизительно равна \( 39.56 \).
Ответ: Длина стороны \( AC \) составляет \( 23\sqrt{3} \) или примерно \( 39.56 \).
