решить график функции: y=x²+4x+3
Чтобы решить задачу по построению графика функции \( y = x^2 + 4x + 3 \), мы пройдем через несколько шагов: найдем ключевые характеристики функции, такие как вершина параболы, нули функции (пересечения с осью X), и значение функции при различных \( x \) (пересечение с осью Y).
Шаг 1: Приведем функцию к каноническому виду
Функция \( y = x^2 + 4x + 3 \) является квадратичной, и её график — парабола. Чтобы лучше понять её форму, можно привести её к каноническому виду, выделив полный квадрат.
Запишем:
\[ y = x^2 + 4x + 3 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3 = (x + 2)^2 - 1 \]
Теперь функция записана в виде:
\[ y = (x + 2)^2 - 1 \]
Шаг 2: Вершина параболы
В канонической форме \( y = a(x - h)^2 + k \), вершина параболы находится в точке \( (h, k) \). В нашем случае:
- \( h = -2 \)
- \( k = -1 \)
Значит, вершина параболы находится в точке \( (-2, -1) \).
Шаг 3: Нули функции (пересечения с осью X)
Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение:
\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
Можно использовать формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = 3 \).
Вычисляем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Теперь подставляем в формулу корней:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2} \]
Находим два корня:
- \( x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
- \( x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
Таким образом, нули функции (точки пересечения с осью X) — это \( (-1, 0) \) и \( (-3, 0) \).
Шаг 4: Пересечение с осью Y
Чтобы найти точку пересечения с осью Y, подставим \( x = 0 \):
\[ y = 0^2 + 4 \cdot 0 + 3 = 3 \]
Таким образом, точка пересечения с осью Y — это \( (0, 3) \).
Шаг 5: Построение графика
Теперь у нас есть все необходимые точки для построения графика:
- Вершина: \( (-2, -1) \)
- Нули (перекрестки с осью X): \( (-1, 0) \) и \( (-3, 0) \)
- Точка пересечения с осью Y: \( (0, 3) \)
График будет иметь U-образную форму, направленную вверх, поскольку коэффициент перед \( x^2 \) положительный.
Шаг 6: Общая форма графика
Теперь можно построить график на координатной плоскости, отметив все точки и соединяя их, помня о симметрии параболы относительно оси, проходящей через её вершину.
Таким образом, мы понимаем, как выглядит график функции \( y = x^2 + 4x + 3 \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими аспектами, не стесняйтесь спрашивать!
