Решить график функции: y=x²+4x+3

Чтобы решить задачу по построению графика функции \( y = x^2 + 4x + 3 \), мы пройдем через несколько шагов: найдем ключевые характеристики функции, такие как вершина параболы, нули функции (пересечения с осью X), и значение функции при различных \( x \) (пересечение с осью Y). ### Шаг 1: Приведем функцию к каноническому виду Функция \( y = x^2 + 4x + 3 \) является квадратичной, и её график — парабола. Чтобы лучше понять её форму, можно привести её к каноническому виду, выделив полный квадрат. Запишем: \[ y = x^2 + 4x + 3 = (x^2 + 4x + 4) - 4 + 3 = (x + 2)^2 - 1 \] Теперь функция записана в виде: \[ y = (x + 2)^2 - 1 \] ### Шаг 2: Вершина параболы В канонической форме \( y = a(x - h)^2 + k \), вершина параболы находится в точке \( (h, k) \). В нашем случае: - \( h = -2 \) - \( k = -1 \) Значит, вершина параболы находится в точке \( (-2, -1) \). ### Шаг 3: Нули функции (пересечения с осью X) Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение: \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \] Можно использовать формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = 3 \). Вычисляем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] Теперь подставляем в формулу корней: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2} \] Находим два корня: 1. \( x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \) 2. \( x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) Таким образом, нули функции (точки пересечения с осью X) — это \( (-1, 0) \) и \( (-3, 0) \). ### Шаг 4: Пересечение с осью Y Чтобы найти точку пересечения с осью Y, подставим \( x = 0 \): \[ y = 0^2 + 4 \cdot 0 + 3 = 3 \] Таким образом, точка пересечения с осью Y — это \( (0, 3) \). ### Шаг 5: Построение графика Теперь у нас есть все необходимые точки для построения графика: 1. Вершина: \( (-2, -1) \) 2. Нули (перекрестки с осью X): \( (-1, 0) \) и \( (-3, 0) \) 3. Точка пересечения с осью Y: \( (0, 3) \) График будет иметь U-образную форму, направленную вверх, поскольку коэффициент перед \( x^2 \) положительный. ### Шаг 6: Общая форма графика Теперь можно построить график на координатной плоскости, отметив все точки и соединяя их, помня о симметрии параболы относительно оси, проходящей через её вершину. Таким образом, мы понимаем, как выглядит график функции \( y = x^2 + 4x + 3 \). Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими аспектами, не стесняйтесь спрашивать!