Равен 144 а ксоинус одного из углов рпвен √65/9

Чтобы решить задачу, давайте разберем, что у нас есть: квадрат гипотенузы равен 144, а косинус одного из углов равен √65/9. На основе этих данных мы можем найти искомые значения. ### Шаг 1: Находим гипотенузу Из условия нам известно, что: \[ c^2 = 144 \] Где \(c\) — это длина гипотенузы. Чтобы найти \(c\), необходимо извлечь квадратный корень: \[ c = \sqrt{144} = 12 \] ### Шаг 2: Используем косинус для нахождения прилежащего катета Согласно определению косинуса: \[ \cos \theta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \] Обозначим прилежащий катет как \(a\). Тогда: \[ \cos \theta = \frac{a}{c} \] Подставим значение гипотенузы \(c = 12\) и значение косинуса \( \cos \theta = \frac{\sqrt{65}}{9} \): \[ \frac{\sqrt{65}}{9} = \frac{a}{12} \] ### Шаг 3: Находим прилежащий катет Теперь выразим прилежащий катет \(a\): \[ a = 12 \cdot \frac{\sqrt{65}}{9} \] Произведем расчет: \[ a = \frac{12\sqrt{65}}{9} = \frac{4\sqrt{65}}{3} \] ### Шаг 4: Находим противолежащий катет Теперь, чтобы найти противолежащий катет \(b\), можем использовать теорему Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставляем значения: \[ 12^2 = \left(\frac{4\sqrt{65}}{3}\right)^2 + b^2 \] Это преобразуется в: \[ 144 = \frac{16 \cdot 65}{9} + b^2 \] Рассчитаем \(\frac{16 \cdot 65}{9}\): \[ \frac{1040}{9} \] А теперь подставим это в уравнение: \[ 144 = \frac{1040}{9} + b^2 \] Умножим все на 9 для упрощения: \[ 1296 = 1040 + 9b^2 \] ### Шаг 5: Изолируем \(b^2\) Вычтем 1040 из обеих сторон: \[ 1296 - 1040 = 9b^2 \] Получаем: \[ 256 = 9b^2 \] Теперь разделим на 9: \[ b^2 = \frac{256}{9} \] Извлекаем квадратный корень: \[ b = \frac{16}{3} \] ### Итог Таким образом, мы нашли значения катета: - Прилежащий катет \(a = \frac{4\sqrt{65}}{3}\) - Противолежащий катет \(b = \frac{16}{3}\) Это решение включает в себя шаги и объяснения, чтобы вы могли понять, как мы пришли к итоговым значениям. Если есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, спрашивайте!