Чтобы понять, как найти угол A1C1B в кубе ABCDA1B1C1D1, давайте разобьем задачу на шаги и рассмотрим все необходимые элементы.
### 1. Понимание фигуры
Куб — это твердое тело с 6 равными квадратными гранями. Обозначим точки следующим образом:
- A, B, C, D — нижняя грань куба (по часовой стрелке).
- A1, B1, C1, D1 — верхняя грань куба, которая располагается точно над соответствующими точками нижней грани.
### 2. Изображение диагоналей
- **A1C1** — это диагональ, соединяющая верхнюю левую (A1) и верхнюю правую (C1) точки.
- **C1B** — это отрезок, соединяющий точку C1 (верхняя грань) и точку B (нижняя грань).
### 3. Определим координаты точек
Для удобства можно задать координаты для вершин куба:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(1, 1, 0) \)
- \( D(0, 1, 0) \)
- \( A1(0, 0, 1) \)
- \( B1(1, 0, 1) \)
- \( C1(1, 1, 1) \)
- \( D1(0, 1, 1) \)
### 4. Векторы для угла
Теперь найдем вектора A1C1 и C1B:
- Вектор **A1C1**:
\[
A1C1 = C1 - A1 = (1, 1, 1) - (0, 0, 1) = (1, 1, 0)
\]
- Вектор **C1B**:
\[
C1B = B - C1 = (1, 0, 0) - (1, 1, 1) = (0, -1, -1)
\]
### 5. Формула угла между векторами
Для находения угла между двумя векторами можно использовать скалярное произведение:
\[
\cos(\theta) = \frac{A1C1 \cdot C1B}{|A1C1| |C1B|}
\]
Теперь находим скалярное произведение \( A1C1 \cdot C1B \):
\[
A1C1 \cdot C1B = (1, 1, 0) \cdot (0, -1, -1) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = -1
\]
Теперь найдем длины векторов:
\[
|A1C1| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}
\]
\[
|C1B| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
\]
### 6. Подставление в формулу
Теперь подставим значения:
\[
\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2}
\]
### 7. Нахождение угла
Теперь найдем угол:
\[
\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \implies \theta = 120^\circ
\]
### Ответ
Таким образом, угол A1C1B составляет \(120^\circ\).
