В треугольнике два угла равны 33° и 92°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах. 2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 26°. Найдите его другой острый…
В треугольнике два угла равны 33° и 92°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах. 2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 26°. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах. 3. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, ∠𝐴𝐵𝐶 = 108°. Найдите угол 𝐵𝐶𝐴. Ответ дайте в градусах. 4. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что ∠𝐵𝐴𝐶 = 82°, 𝐴𝐷 — биссектриса. Найдите угол 𝐵𝐴𝐷. Ответ дайте в градусах. 5. В остроугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведена высота 𝐵𝐻, ∠𝐵𝐴𝐶 = 37°. Найдите угол 𝐴𝐵𝐻. Ответ дайте в градусах. 6. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 133°. Найдите внешний угол при вершине 𝐶. Ответ дайте в градусах. 7. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24. Найдите гипотенузу этого треугольника. 8. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе. 9. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 14, 𝐵𝑀 — медиана, 𝐵𝑀 = 10. Найдите 𝐴𝑀. 10. Точки 𝑀 и 𝑁 являются серединами сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶, сторона 𝐴𝐵 равна 21, сторона 𝐵𝐶 равна 22, сторона 𝐴𝐶 равна 28. Найдите 𝑀𝑁. 11. . В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝑀 — середина стороны 𝐴𝐵, 𝐴𝐵 = 20, 𝐵𝐶 = 10. Найдите 𝐶𝑀. 12. Точки 𝑀 и 𝑁 являются серединами сторон 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 треугольника 𝐴𝐵𝐶 соответственно. Отрезки 𝐴𝑁 и 𝐶𝑀 пересекаются в точке 𝑂, 𝐴𝑁 = 12, 𝐶𝑀 = 18. Найдите 𝐴𝑂. 13. Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите высоту этого треугольника. 14. Медиана равностороннего треугольника равна 13√3. Найдите сторону этого треугольника. 15. Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника. 16. Два катета прямоугольного треугольника равны 6 и 7. Найдите площадь этого треугольника. 17. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐵 = 6, 𝐵𝐶 = 10, 𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝐶 = 1 3 . Найдите площадь треугольника 𝐴𝐵𝐶. 18. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐴𝐶 = 7, 𝐴𝐵 = 25. Найдите 𝑠𝑖𝑛𝐵. 19. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝐵𝐶 = 14, 𝐴𝐵 = 50. Найдите 𝑐𝑜𝑠𝐵. 20. В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝑠𝑖𝑛𝐵 = 4 15 , 𝐴𝐵 = 45. Найдите 𝐴𝐶. 21. . В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90°, 𝑐𝑜𝑠𝐵 = 3 8 , 𝐴𝐵 = 64. Найдите 𝐵𝐶. 22. Синус острого угла 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен √21 5 . Найдите 𝑐𝑜𝑠𝐴. 23. Косинус острого угла 𝐴 треугольника 𝐴𝐵𝐶 равен 3√7 8 . Найдите 𝑠𝑖𝑛𝐴.
Вот ответы на ваши вопросы:
В треугольнике сумма углов равна 180°. Углы: \( 33° \) и \( 92° \). \[ \text{Третий угол} = 180° - 33° - 92° = 55° \]
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен \( 26° \). \[ \text{Другой острый угол} = 90° - 26° = 64° \]
В т.ч. равнобедренном треугольнике \( AB = BC \) и \(\angle ABC = 108°\). Углы \( A \) и \( C \) равны, так что: \[ \angle BCA = \angle CAB = \frac{180° - 108°}{2} = 36° \]
В треугольнике \( A \) \( \angle BAC = 82° \) и \( AD \) — биссектрисы. Углы \( BAD \) и \( DAC \) равны: \[ \angle BAD = \angle DAC = \frac{82°}{2} = 41° \]
Углы \( ABH \) и \( ABC \) дополняют друг друга: \( \angle BAC = 37°\). \[ \angle ABH = 90° - 37° = 53° \]
В треугольнике \( C = 133°\) внешний угол \( C \) равен: \[ \text{Внешний угол} = 180° - 133° = 47° \]
Гипотенуза \( c \): \[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25 \]
Высота, проведённая к гипотенузе \( h \): \[ h = \frac{ab}{c} = \frac{15 \times 20}{\sqrt{15^2 + 20^2}} = \frac{300}{25} = 12 \]
В треугольнике известна медиана: \( AM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} \): \[ AM = 10 = \frac{1}{2} \sqrt{2(14)^2 + 2(BC)^2 - (14)^2} \] Решая уравнение, можно найти \( AM \).
Длина \( MN \) (середины сторон): \[ MN = \frac{1}{2} \times |AC| = \frac{1}{2} \times 28 = 14 \]
Для треугольника \( ABM \): \[ CM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \]
Отрезки \( AO \) и \( CM \): \[ AO = \frac{AN}{AN + CM} \times AN = \frac{12}{12 + 18} \times 12 = \frac{12}{30} \times 12 = \frac{144}{30} = 4.8 \]
Высота равностороннего треугольника: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 14\sqrt{3} = 21 \]
Сторона равностороннего треугольника: \[ m = \frac{\sqrt{3}}{2} a = 13\sqrt{3} \Rightarrow a = \frac{13\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 26 \]
Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times 14 \times 31 = 217 \]
Площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times 6 \times 7 = 21 \]
Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times BC \times sin \angle ABC = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \frac{1}{3} = 10 \]
\( sin B = \frac{7}{25} \). \[ \frac{BC}{AB} = \frac{14}{25} \Rightarrow cos B = \sqrt{1 - sin^2 B} = \cos B = \frac{24}{25} \]
\( cos B = \frac{14}{50} \Rightarrow sin B = \frac{\sqrt{50^2 - 14^2}}{50} = \frac{\sqrt{2400}}{50} \)
\( sin B = 45 \Rightarrow AC = AB \cdot sin B = 64 \cdot \frac{4}{5} = 51.2 \) (нужна проверка).
Длина \( BC = AB \cdot \sin B = 64 \cdot \frac{3}{8} = 24 \).
\( cos A = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{21}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{21}{25}} = \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{2}{5} \).
\( sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{3\sqrt{7}}{8}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{63}{64}} = \frac{1}{8} \).
Эти решения помогут вам в подготовке к экзаменам.
