Для решения данной задачи давайте сначала вспомним несколько основных понятий о прямоугольном треугольнике и его свойствах.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен 90°. У него два катета и гипотенуза — это самая длинная сторона, противолежащая прямому углу.
Синус угла — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
Теперь перейдем к самой задаче:
Условие: Один из катетов треугольника равен половине гипотенузы. Давайте обозначим:
- Гипотенузу (c)
- Один из катетов (a)
- Второй катет (b)
Согласно условию, у нас есть:
[
a = \frac{c}{2}
]
Теперь используем теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
Подставим значение (a):
[
\left(\frac{c}{2}\right)^2 + b^2 = c^2
]
Преобразуем это уравнение:
[
\frac{c^2}{4} + b^2 = c^2
]
Теперь выразим (b^2):
[
b^2 = c^2 - \frac{c^2}{4}
]
[
b^2 = \frac{4c^2}{4} - \frac{c^2}{4}
]
[
b^2 = \frac{3c^2}{4}
]
Теперь найдем (b):
[
b = \sqrt{\frac{3c^2}{4}} = \frac{c\sqrt{3}}{2}
]
Теперь у нас есть значения обоих катетов:
- Один катет (a = \frac{c}{2})
- Второй катет (b = \frac{c\sqrt{3}}{2})
Далее, чтобы найти угол, противолежащий катету (a), обозначим его как (\alpha). Используем определение синуса:
[
\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{\frac{c}{2}}{c} = \frac{1}{2}
]
Зная, что синус угла (30^\circ) равен (\frac{1}{2}), можем заключить:
[
\alpha = 30^\circ
]
Таким образом, если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, угол, лежащий против этого катета, действительно равен (30^\circ).
Ответ: Угол, противолежащий катету, равен (30^\circ).
