если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30° РИСУНОК
Для решения данной задачи давайте сначала вспомним несколько основных понятий о прямоугольном треугольнике и его свойствах.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол равен 90°. У него два катета и гипотенуза — это самая длинная сторона, противолежащая прямому углу.
Синус угла — это отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.
Теперь перейдем к самой задаче:
Условие: Один из катетов треугольника равен половине гипотенузы. Давайте обозначим:
- Гипотенузу \(c\)
- Один из катетов \(a\)
- Второй катет \(b\)
Согласно условию, у нас есть: \[ a = \frac{c}{2} \]
Теперь используем теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Подставим значение \(a\): \[ \left(\frac{c}{2}\right)^2 + b^2 = c^2 \]
Преобразуем это уравнение: \[ \frac{c^2}{4} + b^2 = c^2 \]
Теперь выразим \(b^2\): \[ b^2 = c^2 - \frac{c^2}{4} \] \[ b^2 = \frac{4c^2}{4} - \frac{c^2}{4} \] \[ b^2 = \frac{3c^2}{4} \]
Теперь найдем \(b\): \[ b = \sqrt{\frac{3c^2}{4}} = \frac{c\sqrt{3}}{2} \]
Теперь у нас есть значения обоих катетов:
- Один катет \(a = \frac{c}{2}\)
- Второй катет \(b = \frac{c\sqrt{3}}{2}\)
Далее, чтобы найти угол, противолежащий катету \(a\), обозначим его как \(\alpha\). Используем определение синуса: \[ \sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{\frac{c}{2}}{c} = \frac{1}{2} \]
Зная, что синус угла \(30^\circ\) равен \(\frac{1}{2}\), можем заключить: \[ \alpha = 30^\circ \]
Таким образом, если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, угол, лежащий против этого катета, действительно равен \(30^\circ\).
Ответ: Угол, противолежащий катету, равен \(30^\circ\).
