2. Периметр прямоугольника равен 114 м, а его площадь 740 м². Найдите длины сто-рон прямоугольника. 3. В уравнении x ^ 2 + px + 18 = 0 один из его корней равен -6. Найдите другой…

Задача 1: Найти длины сторон прямоугольника

Дано:

• Периметр прямоугольника \( P = 114 \, \text{м} \)
• Площадь прямоугольника \( S = 740 \, \text{м}^2 \)

Обозначим длины сторон прямоугольника:

• Длина: \( a \)
• Ширина: \( b \)

Шаг 1: Составим уравнение для периметра.

Периметр прямоугольника рассчитывается по формуле: \[ P = 2(a + b) \] Подставим известное значение: \[ 114 = 2(a + b) \] Разделим обе стороны на 2: \[ a + b = 57 \quad (1) \]

Шаг 2: Составим уравнение для площади.

Площадь прямоугольника рассчитывается по формуле: \[ S = a \cdot b \] Подставим известное значение: \[ 740 = a \cdot b \quad (2) \]

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

1. \( a + b = 57 \)
2. \( ab = 740 \)

Шаг 3: Выразим одну сторону через другую.

Из первого уравнения выразим \( b \): \[ b = 57 - a \quad (3) \]

Шаг 4: Подставим выражение для \( b \) во второе уравнение.

Подставим (3) во (2): \[ a(57 - a) = 740 \] Раскроем скобки: \[ 57a - a^2 = 740 \] Приведем уравнение к стандартной форме: \[ -a^2 + 57a - 740 = 0 \] Умножим уравнение на -1: \[ a^2 - 57a + 740 = 0 \]

Шаг 5: Решим квадратное уравнение.

Для решения можем использовать дискриминант. Найдем дискриминант \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 740 \] \[ D = 3249 - 2960 = 289 \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 \pm \sqrt{289}}{2} \] \[ = \frac{57 \pm 17}{2} \] Находим два возможных значения для \( a \):

1. \( a_1 = \frac{74}{2} = 37 \)
2. \( a_2 = \frac{40}{2} = 20 \)

Шаг 6: Найдем \( b \).

Теперь, используя (1):

• Если \( a = 37 \), тогда \( b = 57 - 37 = 20 \).
• Если \( a = 20 \), тогда \( b = 57 - 20 = 37 \).

Ответ: Длину и ширину прямоугольника можно обозначить как \( 37 \, \text{м} \) и \( 20 \, \text{м} \) (либо наоборот).

Задача 2: Найти другой корень и коэффициент \( p \)

Дано уравнение: \[ x^2 + px + 18 = 0 \] Один из корней равен \( -6 \).

Шаг 1: Используем свойство корней уравнения.

Согласно теореме Виета, сумма корней равна \( -p \), а произведение корней равно \( 18 \). Обозначим другой корень как \( r \): \[ -6 + r = -p \quad (1) \] \[ -6r = 18 \quad (2) \]

Шаг 2: Найдем второй корень.

Из второго уравнения выразим \( r \): \[ r = \frac{18}{-6} = -3 \]

Шаг 3: Находим коэффициент \( p \).

Теперь подставим \( r \) в первое уравнение: \[ -6 + (-3) = -p \] \[ -9 = -p \implies p = 9 \]

Ответ: Другой корень равен \( -3 \), а коэффициент \( p \) равен \( 9 \).