Задача 1: Найти длины сторон прямоугольника
Дано:
- Периметр прямоугольника ( P = 114 , \text{м} )
- Площадь прямоугольника ( S = 740 , \text{м}^2 )
Обозначим длины сторон прямоугольника:
- Длина: ( a )
- Ширина: ( b )
Шаг 1: Составим уравнение для периметра.
Периметр прямоугольника рассчитывается по формуле:
[
P = 2(a + b)
]
Подставим известное значение:
[
114 = 2(a + b)
]
Разделим обе стороны на 2:
[
a + b = 57 \quad (1)
]
Шаг 2: Составим уравнение для площади.
Площадь прямоугольника рассчитывается по формуле:
[
S = a \cdot b
]
Подставим известное значение:
[
740 = a \cdot b \quad (2)
]
Теперь мы имеем систему из двух уравнений:
- ( a + b = 57 )
- ( ab = 740 )
Шаг 3: Выразим одну сторону через другую.
Из первого уравнения выразим ( b ):
[
b = 57 - a \quad (3)
]
Шаг 4: Подставим выражение для ( b ) во второе уравнение.
Подставим (3) во (2):
[
a(57 - a) = 740
]
Раскроем скобки:
[
57a - a^2 = 740
]
Приведем уравнение к стандартной форме:
[
-a^2 + 57a - 740 = 0
]
Умножим уравнение на -1:
[
a^2 - 57a + 740 = 0
]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение.
Для решения можем использовать дискриминант. Найдем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = (-57)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 740
]
[
D = 3249 - 2960 = 289
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{57 \pm \sqrt{289}}{2}
]
[
= \frac{57 \pm 17}{2}
]
Находим два возможных значения для ( a ):
- ( a_1 = \frac{74}{2} = 37 )
- ( a_2 = \frac{40}{2} = 20 )
Шаг 6: Найдем ( b ).
Теперь, используя (1):
- Если ( a = 37 ), тогда ( b = 57 - 37 = 20 ).
- Если ( a = 20 ), тогда ( b = 57 - 20 = 37 ).
Ответ: Длину и ширину прямоугольника можно обозначить как ( 37 , \text{м} ) и ( 20 , \text{м} ) (либо наоборот).
Задача 2: Найти другой корень и коэффициент ( p )
Дано уравнение:
[
x^2 + px + 18 = 0
]
Один из корней равен ( -6 ).
Шаг 1: Используем свойство корней уравнения.
Согласно теореме Виета, сумма корней равна ( -p ), а произведение корней равно ( 18 ). Обозначим другой корень как ( r ):
[
-6 + r = -p \quad (1)
]
[
-6r = 18 \quad (2)
]
Шаг 2: Найдем второй корень.
Из второго уравнения выразим ( r ):
[
r = \frac{18}{-6} = -3
]
Шаг 3: Находим коэффициент ( p ).
Теперь подставим ( r ) в первое уравнение:
[
-6 + (-3) = -p
]
[
-9 = -p \implies p = 9
]
Ответ: Другой корень равен ( -3 ), а коэффициент ( p ) равен ( 9 ).
