.

Чтобы найти отрезки \( AC \) и \( AD \), воспользуемся данным и условиями в задаче.

Дано:

1. \( \angle (AC, \alpha) = 45^\circ \)
2. \( \angle (AD, \alpha) = 60^\circ \)
3. \( AB \perp \alpha \)
4. \( CD = 10 \), где \( CD \) — перпендикуляр от точки \( C \) к плоскости \( \alpha \).

Решение:

1. Понимание задачи:

   • Точка \( A \) находится над плоскостью \( \alpha \).
   • Угол между отрезком \( AC \) и плоскостью \( \alpha \) равен \( 45^\circ \).
   • Угол между отрезком \( AD \) и плоскостью \( \alpha \) равен \( 60^\circ \).
   • \( CD = 10 \) – это длина перпендикуляра от \( C \) на \( \alpha \).

2. Найдем \( AC \):

   • Отрезок \( AC \) образует угол \( 45^\circ \) с плоскостью.
   • Следовательно, \( \cos(45^\circ) = \frac{CD}{AC} \).
   • Так как \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \):

   \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{10}{AC} \]

   \[ AC = \frac{10 \times \sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \]

3. Найдем \( AD \):

   • Отрезок \( AD \) образует угол \( 60^\circ \) с плоскостью.
   • Следовательно, \( \cos(60^\circ) = \frac{CD}{AD} \).
   • Так как \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \):

   \[ \frac{1}{2} = \frac{10}{AD} \]

   \[ AD = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20 \]

Ответ:

\( AC = 5\sqrt{2} \), \( AD = 20 \).

Если остались вопросы или у вас есть другие задачи, не стесняйтесь задавать!