В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , cos ( A ) = 5 √ 39 32 . Найдите косинус угла B .

Для решения данной задачи будем использовать свойства треугольников и тригонометрические функции. ### Дано: - Треугольник \( ABC \) с углом \( C = 90^\circ \) - \( \cos(A) = \frac{5\sqrt{39}}{32} \) ### Нужно найти: \( \cos(B) \) ### Шаг 1: Используем свойство треугольника В прямоугольном треугольнике сумма углов \( A \) и \( B \) равна \( 90^\circ \): \[ A + B = 90^\circ \] Это значит, что угол \( B \) является дополнением к углу \( A \): \[ B = 90^\circ - A \] ### Шаг 2: Применим тригонометрическую идентичность Из тригонометрических свойств для углов, мы знаем, что: \[ \cos(B) = \sin(A) \] ### Шаг 3: Найдем \( \sin(A) \) Используем основную тригонометрическую идентичность: \[ \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 \] Зная \( \cos(A) \), можем найти \( \sin(A) \): \[ \sin^2(A) = 1 - \cos^2(A) \] Подставим значение \( \cos(A) \): \[ \cos^2(A) = \left( \frac{5\sqrt{39}}{32} \right)^2 = \frac{25 \times 39}{1024} = \frac{975}{1024} \] Теперь найдем \( \sin^2(A) \): \[ \sin^2(A) = 1 - \frac{975}{1024} = \frac{1024 - 975}{1024} = \frac{49}{1024} \] ### Шаг 4: Найдем \( \sin(A) \) Исследуем корень: \[ \sin(A) = \sqrt{\frac{49}{1024}} = \frac{7}{32} \] (поскольку угол \( A < 90^\circ \), \( \sin(A) \) положителен). ### Шаг 5: Находим \( \cos(B) \) Так как \( \cos(B) = \sin(A) \), то: \[ \cos(B) = \frac{7}{32} \] ### Ответ: Косинус угла \( B \) равен \[ \cos(B) = \frac{7}{32} \]