В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , cos ( A ) = 5 √ 39 32 . Найдите косинус угла B .

Для решения данной задачи будем использовать свойства треугольников и тригонометрические функции.

Дано:

• Треугольник \( ABC \) с углом \( C = 90^\circ \)
• \( \cos(A) = \frac{5\sqrt{39}}{32} \)

Нужно найти:

\( \cos(B) \)

Шаг 1: Используем свойство треугольника

В прямоугольном треугольнике сумма углов \( A \) и \( B \) равна \( 90^\circ \): \[ A + B = 90^\circ \] Это значит, что угол \( B \) является дополнением к углу \( A \): \[ B = 90^\circ - A \]

Шаг 2: Применим тригонометрическую идентичность

Из тригонометрических свойств для углов, мы знаем, что: \[ \cos(B) = \sin(A) \]

Шаг 3: Найдем \( \sin(A) \)

Используем основную тригонометрическую идентичность: \[ \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 \] Зная \( \cos(A) \), можем найти \( \sin(A) \): \[ \sin^2(A) = 1 - \cos^2(A) \]

Подставим значение \( \cos(A) \): \[ \cos^2(A) = \left( \frac{5\sqrt{39}}{32} \right)^2 = \frac{25 \times 39}{1024} = \frac{975}{1024} \]

Теперь найдем \( \sin^2(A) \): \[ \sin^2(A) = 1 - \frac{975}{1024} = \frac{1024 - 975}{1024} = \frac{49}{1024} \]

Шаг 4: Найдем \( \sin(A) \)

Исследуем корень: \[ \sin(A) = \sqrt{\frac{49}{1024}} = \frac{7}{32} \] (поскольку угол \( A < 90^\circ \), \( \sin(A) \) положителен).

Шаг 5: Находим \( \cos(B) \)

Так как \( \cos(B) = \sin(A) \), то: \[ \cos(B) = \frac{7}{32} \]

Ответ:

Косинус угла \( B \) равен \[ \cos(B) = \frac{7}{32} \]