Давайте решим задачу о нахождении радиуса окружности, описанной около треугольника, где угол ( C ) равен ( 60^\circ ), а стороны ( BC = 12 ) см и ( AB = 20 ) см.
Для решения задачи мы можем воспользоваться формулой радиуса описанной окружности треугольника:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
где:
- ( R ) — радиус описанной окружности,
- ( a, b, c ) — длины сторон треугольника,
- ( S ) — площадь треугольника.
Шаг 1: Нахождение длины третьей стороны
Мы знаем угол ( C ) и две стороны, поэтому можем использовать теорему косинусов:
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
]
Где:
- ( a ) — сторона ( BC = 12 ) см,
- ( b ) — сторона ( AB = 20 ) см,
- ( C = 60^\circ ).
Подставим известные значения:
[
c^2 = 12^2 + 20^2 - 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \cos(60^\circ)
]
[
= 144 + 400 - 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2}
]
[
= 144 + 400 - 240
]
[
= 304
]
Теперь найдем длину стороны ( c ):
[
c = \sqrt{304} \approx 17.44 \text{ см}
]
Шаг 2: Нахождение площади треугольника
Площадь треугольника может быть вычислена по формуле:
[
S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
]
Подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 \cdot \sin(60^\circ)
]
[
= \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
= 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
[
= 60\sqrt{3} \text{ см}^2
]
Шаг 3: Нахождение радиуса окружности
Теперь мы можем найти радиус ( R ) описанной окружности, подставив значения ( a ), ( b ), ( c ) и ( S ) в формулу:
[
R = \frac{abc}{4S}
]
[
= \frac{12 \cdot 20 \cdot 17.44}{4 \cdot 60\sqrt{3}}
]
[
= \frac{4192.32}{240\sqrt{3}}
]
[
\approx \frac{4192.32}{415.69} \approx 10.08 \text{ см}
]
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, составляет approximately 10.08 см.
