5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором угол С равен 60°. ВС-12 см. АВ-20 см.

Давайте решим задачу о нахождении радиуса окружности, описанной около треугольника, где угол \( C \) равен \( 60^\circ \), а стороны \( BC = 12 \) см и \( AB = 20 \) см.

Для решения задачи мы можем воспользоваться формулой радиуса описанной окружности треугольника:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где:

• \( R \) — радиус описанной окружности,
• \( a, b, c \) — длины сторон треугольника,
• \( S \) — площадь треугольника.

Шаг 1: Нахождение длины третьей стороны

Мы знаем угол \( C \) и две стороны, поэтому можем использовать теорему косинусов:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Где:

• \( a \) — сторона \( BC = 12 \) см,
• \( b \) — сторона \( AB = 20 \) см,
• \( C = 60^\circ \).

Подставим известные значения:

\[ c^2 = 12^2 + 20^2 - 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \cos(60^\circ) \] \[ = 144 + 400 - 2 \cdot 12 \cdot 20 \cdot \frac{1}{2} \] \[ = 144 + 400 - 240 \] \[ = 304 \]

Теперь найдем длину стороны \( c \):

\[ c = \sqrt{304} \approx 17.44 \text{ см} \]

Шаг 2: Нахождение площади треугольника

Площадь треугольника может быть вычислена по формуле:

\[ S = \frac{1}{2}ab \sin(C) \]

Подставим значения:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 \cdot \sin(60^\circ) \] \[ = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ = 120 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ = 60\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Шаг 3: Нахождение радиуса окружности

Теперь мы можем найти радиус \( R \) описанной окружности, подставив значения \( a \), \( b \), \( c \) и \( S \) в формулу:

\[ R = \frac{abc}{4S} \] \[ = \frac{12 \cdot 20 \cdot 17.44}{4 \cdot 60\sqrt{3}} \] \[ = \frac{4192.32}{240\sqrt{3}} \] \[ \approx \frac{4192.32}{415.69} \approx 10.08 \text{ см} \]

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, составляет approximately 10.08 см.