Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.
Часть 1: Векторы BA и BC
Даны точки:
- A(3; -2)
- B(1; -1)
- C(-1; 1)
1) Найдем координаты векторов BA и BC.
Вектор BA (от B к A):
Координаты вектора находятся по формуле:
[
\overrightarrow{BA} = A - B
]
[
\overrightarrow{BA} = (3 - 1; -2 - (-1)) = (2; -1)
]
Вектор BC (от B к C):
[
\overrightarrow{BC} = C - B
]
[
\overrightarrow{BC} = (-1 - 1; 1 - (-1)) = (-2; 2)
]
Часть 2: Модули векторов VA и BC
2) Модули векторов BA и BC.
Модуль вектора (\overrightarrow{v} = (x; y)) рассчитывается по формуле:
[
|\overrightarrow{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Модуль вектора BA:
[
|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
]
Модуль вектора BC:
[
|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
]
Часть 3: Вектор MP и его координаты
3) Найдите координаты вектора MP = 4BA - BC.
Сначала определим вектор (4\overrightarrow{BA}):
[
4\overrightarrow{BA} = 4(2; -1) = (8; -4)
]
Теперь найдем (MP):
[
\overrightarrow{MP} = 4\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}
]
[
\overrightarrow{MP} = (8; -4) - (-2; 2) = (8 + 2; -4 - 2) = (10; -6)
]
Часть 4: Скалярное произведение векторов BA и BC
4) Скалярное произведение (\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}):
Скалярное произведение двух векторов рассчитывается как:
[
\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x v_x + u_y v_y
]
[
\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (2; -1) \cdot (-2; 2) = 2 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = -4 - 2 = -6
]
Часть 5: Косинус угла между векторами BA и BC
5) Косинус угла между векторами BA и BC:
[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|}
]
[
\cos(\theta) = \frac{-6}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{-6}{2\sqrt{10}} = \frac{-3}{\sqrt{10}}
]
Часть 6: Начертите треугольник ABC
Треугольник ABC можно начертить с координатами точек A, B и C.
Часть 7: Векторы CA + AB
Векторы (CA) и (AB):
- (CA = A - C = (3; -2) - (-1; 1) = (4; -3))
- (AB = B - A = (1; -1) - (3; -2) = (-2; 1))
Теперь вычислим (CA + AB):
[
CA + AB = (4; -3) + (-2; 1) = (4 - 2; -3 + 1) = (2; -2)
]
Классификация: Точки, образующие вектор (2; -2), проверяются на коллинеарность и перпендикулярность с другими векторами.
Перпендикулярны ли векторы? Для проверки перпендикулярности необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Для дальнейшей работы с параллелограммом ABCD, надо поместить точки E и F и выразить вектор (\overrightarrow{EF}) через (\overrightarrow{CD}) и (\overrightarrow{CB}).
Заключение
Если вам нужна дополнительная помощь с последними частями задачи или более детальное объяснение, дайте знать!
