доказать что F(x)=3x+sinx-e^2x является первообразной функции f(x)=3+cosx-2e^2x
Чтобы доказать, что \( F(x) = 3x + \sin x - e^{2x} \) является первообразной функции \( f(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} \), мы должны найти производную \( F'(x) \) и показать, что она равна \( f(x) \).
Давайте поэтапно выполним данное решение.
Шаг 1: Найдём производную \( F(x) \)
Функция \( F(x) = 3x + \sin x - e^{2x} \) состоит из трёх частей. Мы можем найти производную каждой части отдельно, а затем сложить их.
Производная \( 3x \): \[ \frac{d}{dx}(3x) = 3 \]
Производная \( \sin x \): \[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
Производная \( -e^{2x} \): Для нахождения производной \( -e^{2x} \) нужно использовать правило произведения, учитывая, что \( e^{2x} \) имеет внутреннюю функцию \( 2x \): \[ \frac{d}{dx}(-e^{2x}) = -\frac{d}{dx}(e^{2x}) = -2e^{2x} \]
Шаг 2: Объединим результаты
Теперь объединим найденные производные: \[ F'(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} \]
Шаг 3: Сравним с \( f(x) \)
Теперь мы видим, что: \[ F'(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} = f(x) \]
Заключение
Так как \( F'(x) = f(x) \), мы можем заключить, что функция \( F(x) = 3x + \sin x - e^{2x} \) является первообразной функции \( f(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} \).
Таким образом, мы доказали, что \( F(x) \) и \( f(x) \) связаны как первообразная и её производная.
