Давайте решим задачу шаг за шагом.
Условие задачи:
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль ехал с постоянной скоростью (v_1) (км/ч). Второй автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 45 км/ч, а вторую половину - со скоростью на 30 км/ч большей скорости первого, то есть (v_2 = v_1 + 30) км/ч. Оба автомобиля прибыли в пункт B одновременно.
Обозначим:
- Длина всего пути: (S)
- Первая половина пути: (\frac{S}{2})
- Время, потраченное первым автомобилем на весь путь:
[
t_1 = \frac{S}{v_1}
]
- Время, потраченное вторым автомобилем на первую половину пути:
[
t_{21} = \frac{\frac{S}{2}}{45} = \frac{S}{90}
]
- Время, потраченное вторым автомобилем на вторую половину пути:
[
t_{22} = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 + 30} = \frac{S}{2(v_1 + 30)}
]
Согласно условию задачи, оба автомобиля прибыли одновременно, следовательно:
[
t_1 = t_{21} + t_{22}
]
Подставим формулы для времени:
[
\frac{S}{v_1} = \frac{S}{90} + \frac{S}{2(v_1 + 30)}
]
Теперь сократим обе стороны уравнения на (S) (предполагая, что (S \neq 0)):
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{90} + \frac{1}{2(v_1 + 30)}
]
Теперь умножим всё уравнение на (90v_1(v_1 + 30)), чтобы избавиться от дробей:
[
90(v_1 + 30) = v_1 \cdot 90 + 45v_1
]
Раскроем скобки:
[
90v_1 + 2700 = 90v_1 + 45v_1
]
Теперь упростим:
[
90v_1 + 2700 = 135v_1
]
Переносим (90v_1) в правую часть:
[
2700 = 135v_1 - 90v_1
]
Упрощаем:
[
2700 = 45v_1
]
Теперь делим обе стороны на 45:
[
v_1 = \frac{2700}{45} = 60
]
Ответ: Скорость первого автомобиля составляет 60 км/ч.
