Найти производную y= x в степени 2-4 х/ x-4 по формуле ( u/v)`

Для нахождения производной функции \( y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4} \) будем использовать правило дифференцирования дроби, которое можно записать так: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] где: - \( u = x^2 - 4x \) - \( v = x - 4 \) ### Шаг 1: Найдем производные \( u' \) и \( v' \) 1. Найдём \( u' \): \[ u = x^2 - 4x \] - Производная \( x^2 \) равна \( 2x \). - Производная \( -4x \) равна \( -4 \). - Итог: \[ u' = 2x - 4 \] 2. Найдём \( v' \): \[ v = x - 4 \] - Производная \( x \) равна \( 1 \). - Производная \( -4 \) равна \( 0 \). - Итог: \[ v' = 1 \] ### Шаг 2: Подставим все данные в формулу для производной Теперь, имея \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \), подставим их в формулу: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{(2x - 4)(x - 4) - (x^2 - 4x)(1)}{(x - 4)^2} \] ### Шаг 3: Упростим числитель Начнем с упрощения числителя: \[ (2x - 4)(x - 4) = 2x^2 - 8x - 4x + 16 = 2x^2 - 12x + 16 \] Теперь подставим \( - (x^2 - 4x) \): \[ -(x^2 - 4x) = -x^2 + 4x \] И теперь сложим эти два результата: \[ (2x^2 - 12x + 16) + (-x^2 + 4x) = 2x^2 - x^2 - 12x + 4x + 16 = x^2 - 8x + 16 \] ### Шаг 4: Запишем окончательную формулу для производной Теперь у нас есть числитель: \[ x^2 - 8x + 16 \] Тогда производная функции теперь будет следующей: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{x^2 - 8x + 16}{(x - 4)^2} \] ### Шаг 5: Приведём к более удобному виду (если возможно) Здесь, \( x^2 - 8x + 16 \) можно разложить на множители: \[ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \] Итак, конечная производная будет: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{(x - 4)^2}{(x - 4)^2} \] При \( x \neq 4 \) это упростится до: \[ 1 \] ### Ответ Производная функции \( y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4} \) равна \( 1 \) для всех \( x \neq 4 \).