найти производную y= x в степени 2-4 х/ x-4 по формуле ( u/v)`
Для нахождения производной функции \( y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4} \) будем использовать правило дифференцирования дроби, которое можно записать так:
\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
где:
- \( u = x^2 - 4x \)
- \( v = x - 4 \)
Шаг 1: Найдем производные \( u' \) и \( v' \)
Найдём \( u' \): \[ u = x^2 - 4x \]
- Производная \( x^2 \) равна \( 2x \).
- Производная \( -4x \) равна \( -4 \).
- Итог: \[ u' = 2x - 4 \]
Найдём \( v' \): \[ v = x - 4 \]
- Производная \( x \) равна \( 1 \).
- Производная \( -4 \) равна \( 0 \).
- Итог: \[ v' = 1 \]
Шаг 2: Подставим все данные в формулу для производной
Теперь, имея \( u \), \( v \), \( u' \) и \( v' \), подставим их в формулу:
\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{(2x - 4)(x - 4) - (x^2 - 4x)(1)}{(x - 4)^2} \]
Шаг 3: Упростим числитель
Начнем с упрощения числителя:
\[ (2x - 4)(x - 4) = 2x^2 - 8x - 4x + 16 = 2x^2 - 12x + 16 \]
Теперь подставим \( - (x^2 - 4x) \):
\[ -(x^2 - 4x) = -x^2 + 4x \]
И теперь сложим эти два результата:
\[ (2x^2 - 12x + 16) + (-x^2 + 4x) = 2x^2 - x^2 - 12x + 4x + 16 = x^2 - 8x + 16 \]
Шаг 4: Запишем окончательную формулу для производной
Теперь у нас есть числитель:
\[ x^2 - 8x + 16 \]
Тогда производная функции теперь будет следующей:
\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{x^2 - 8x + 16}{(x - 4)^2} \]
Шаг 5: Приведём к более удобному виду (если возможно)
Здесь, \( x^2 - 8x + 16 \) можно разложить на множители:
\[ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 \]
Итак, конечная производная будет:
\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{(x - 4)^2}{(x - 4)^2} \]
При \( x \neq 4 \) это упростится до:
\[ 1 \]
Ответ
Производная функции \( y = \frac{x^2 - 4x}{x - 4} \) равна \( 1 \) для всех \( x \neq 4 \).
