реши то, что на картинке

Для решения задач, представленных на изображении, необходимо применить тригонометрические свойства, знание углов в стандартной окружности и определить наиболее подходящие тригонометрические формулы. Рассмотрим каждую задачу отдельно.

1.11

1. \( \sin \alpha \), если \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{12}{5} \) и \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \)

Сначала найдем \(\cos \alpha\) с помощью формулы: \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} \] Подставляем: \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{144}{25}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{169}{25}}} = \frac{5}{13} \] Теперь найдем \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13} \] Так как \(\alpha\) находится в четвёртой четверти, то \(\sin \alpha = -\frac{12}{13}\).

2. \( \sin \alpha \), если \( \operatorname{sin} \alpha = \frac{12}{35} \) и \( \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) \)

Для этой задачи просто используется данное значение: \[ \sin \alpha = \frac{12}{35} \]

3. \( \cos \alpha \), если \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3} \) и \( \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \)

\(\tan \alpha\) известна, используем формулу: \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{10}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \] Так как \(\alpha\) находится во второй четверти, \(\cos \alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}\).

4. \(\cos \alpha\), если \(\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{2}\) и \(\alpha \in \left(2\pi; 5\pi \right)\)

Поскольку \(\tan \alpha = \sqrt{2}\), используем формулу: \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

5. \(\cos \alpha\), если \(\operatorname{tg} \alpha = -\frac{\sqrt{39}}{5}\) и \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right)\)

\[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(-\frac{\sqrt{39}}{5}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{39}{25}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{64}{25}}} = \frac{5}{8} \] Как \(\alpha\) во второй четверти, \(\cos \alpha = -\frac{5}{8}\).

1.12

1. Знак \(\sin \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha \in (6\pi; 2\pi)\)

Найдем общее положение \(\alpha\), и выберем соответствующую четверть для угла \(\frac{\alpha}{2}\).

2. Знак \(\cos \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha \in (-\pi; 0)\)

Определяем четверть и соответственно знак \(\alpha\).

3. Знак \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha \in \left( -\frac{5\pi}{2}; -2\pi \right)\)

Четверть \(\alpha\) определяет знак \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\).

4. Знак \(\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha \in \left( -3\pi; -2\pi \right)\)

Определяем, в какой четверти угол \(\frac{\alpha}{2}\).

1.13

1. \(\cos \frac{\alpha}{2}\), если \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\) и \(\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)\)

\[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13} \] Теперь применяем формулу половинного угла: \[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \]

2. \(\sin \frac{\alpha}{2}\), если \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\) и \(\alpha \in \left( -\pi; -\frac{\pi}{2} \right)\)

\[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{4}{5} \] \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \]

3. \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha = -16\pi\)

Угол находится на оси, следовательно, \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = 0\).

4. \(\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha = 21\)

Определяем угол, чтобы вычислить \(\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}\).

Эти подробные объяснения должны помочь вам понять, как решать каждый тип задачи, используя основные тригонометрические свойства и формулы.