Реши то, что на картинке

Для решения задач, представленных на изображении, необходимо применить тригонометрические свойства, знание углов в стандартной окружности и определить наиболее подходящие тригонометрические формулы. Рассмотрим каждую задачу отдельно. ### 1.11 1) \( \sin \alpha \), если \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{12}{5} \) и \( \alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \) Сначала найдем \(\cos \alpha\) с помощью формулы: \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} \] Подставляем: \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{12}{5}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{144}{25}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{169}{25}}} = \frac{5}{13} \] Теперь найдем \(\sin \alpha\): \[ \sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12}{13} \] Так как \(\alpha\) находится в четвёртой четверти, то \(\sin \alpha = -\frac{12}{13}\). 2) \( \sin \alpha \), если \( \operatorname{sin} \alpha = \frac{12}{35} \) и \( \alpha \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) \) Для этой задачи просто используется данное значение: \[ \sin \alpha = \frac{12}{35} \] 3) \( \cos \alpha \), если \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{3} \) и \( \alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \) \(\tan \alpha\) известна, используем формулу: \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{10}{9}}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \] Так как \(\alpha\) находится во второй четверти, \(\cos \alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}\). 4) \(\cos \alpha\), если \(\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{2}\) и \(\alpha \in \left(2\pi; 5\pi \right)\) Поскольку \(\tan \alpha = \sqrt{2}\), используем формулу: \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 5) \(\cos \alpha\), если \(\operatorname{tg} \alpha = -\frac{\sqrt{39}}{5}\) и \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right)\) \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(-\frac{\sqrt{39}}{5}\right)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{39}{25}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{64}{25}}} = \frac{5}{8} \] Как \(\alpha\) во второй четверти, \(\cos \alpha = -\frac{5}{8}\). ### 1.12 1) Знак \(\sin \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha \in (6\pi; 2\pi)\) Найдем общее положение \(\alpha\), и выберем соответствующую четверть для угла \(\frac{\alpha}{2}\). 2) Знак \(\cos \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha \in (-\pi; 0)\) Определяем четверть и соответственно знак \(\alpha\). 3) Знак \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha \in \left( -\frac{5\pi}{2}; -2\pi \right)\) Четверть \(\alpha\) определяет знак \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\). 4) Знак \(\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha \in \left( -3\pi; -2\pi \right)\) Определяем, в какой четверти угол \(\frac{\alpha}{2}\). ### 1.13 1) \(\cos \frac{\alpha}{2}\), если \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\) и \(\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)\) \[ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2} = \frac{5}{13} \] Теперь применяем формулу половинного угла: \[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \] 2) \(\sin \frac{\alpha}{2}\), если \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\) и \(\alpha \in \left( -\pi; -\frac{\pi}{2} \right)\) \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{4}{5} \] \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \] 3) \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha = -16\pi\) Угол находится на оси, следовательно, \(\operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} = 0\). 4) \(\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}\), если \(\alpha = 21\) Определяем угол, чтобы вычислить \(\operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2}\). Эти подробные объяснения должны помочь вам понять, как решать каждый тип задачи, используя основные тригонометрические свойства и формулы.