Обозначим собственную скорость катера как ( v ) км/ч.
Когда катер идёт по течению, его скорость составляет ( v + 5 ) км/ч (так как скорость течения равна 5 км/ч). Время, затраченное на путь по течению, можно вычислить по формуле:
[
t_1 = \frac{171}{v + 5}
]
Когда катер возвращается против течения, его скорость составляет ( v - 5 ) км/ч. Время, затраченное на обратный путь, будет:
[
t_2 = \frac{171}{v - 5}
]
По условию задачи, время на обратный путь на 10 часов больше:
[
t_2 = t_1 + 10
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ) в это уравнение:
[
\frac{171}{v - 5} = \frac{171}{v + 5} + 10
]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на ( (v - 5)(v + 5) ):
[
171(v + 5) = 171(v - 5) + 10(v^2 - 25)
]
Раскроем скобки:
[
171v + 855 = 171v - 855 + 10v^2 - 250
]
Сокращаем ( 171v ) с обеих сторон:
[
855 = -855 + 10v^2 - 250
]
Переносим все в одну сторону:
[
10v^2 - 250 - 855 = 0
]
[
10v^2 - 1105 = 0
]
[
10v^2 = 1105
]
[
v^2 = 110.5
]
[
v = \sqrt{110.5} \approx 10.5
]
Таким образом, собственная скорость катера примерно равна ( 10.5 ) км/ч.
