Решить тригонометрическое уравнение tgx = -√3

Для решения тригонометрического уравнения \( \tan x = -\sqrt{3} \) нам нужно определить, в каких углах функция тангенс принимает такое значение. Начнем с анализа уравнения. ### Шаг 1: Определение углов, где \( \tan x = \sqrt{3} \) Сначала вспомним, что \(\tan x\) равно \(\sqrt{3}\) в следующих углах: - \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \), где \( k \) — любое целое число. ### Шаг 2: Найти углы для \( \tan x = -\sqrt{3} \) Мы знаем, что тангенс является отрицательной функцией в II и IV квадрантах. Поэтому нам нужно рассмотреть углы, которые соответствуют тангенсу \(-\sqrt{3}\): - В II квадранте: - \( x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + k\pi \) - В IV квадранте: - \( x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + k\pi \) ### Шаг 3: Записать общее решение Теперь мы можем записать общее решение для уравнения \( \tan x = -\sqrt{3} \): \[ x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 4: Понимание решения Каждое значение \( k \) в \(\mathbb{Z}\) (целые числа) означает, что мы можем добавлять или вычитать целые π от найденных значений углов, что дает нам бесконечное количество решений. Например, если \( k = 0 \), мы получаем: - \( x = \frac{2\pi}{3} \) - \( x = \frac{5\pi}{3} \) Если мы возьмем \( k = 1 \): - \( x = \frac{2\pi}{3} + \pi = \frac{5\pi}{3} \) - \( x = \frac{5\pi}{3} + \pi = \frac{8\pi}{3} \) И так далее. Таким образом, мы нашли общие решения для уравнения \( \tan x = -\sqrt{3} \). Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать подобные тригонометрические уравнения! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.