Решить и расписать

Давайте разберём задачу по пунктам: ### Вариант 1: #### 1. Найти координаты точек пересечения параболы \( y = x^2 - 5x + 4 \) и прямой \( y = -x + 1 \). Чтобы найти точки пересечения графиков, нужно решить систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = -x + 1 \end{cases} \] Приравниваем правые части уравнений, так как \( y \) одинаковое: \[ x^2 - 5x + 4 = -x + 1 \] Переносим все слагаемые на одну сторону: \[ x^2 - 5x + 4 + x - 1 = 0 \] Упрощаем: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Решим квадратное уравнение. Найдём его корни: Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] Находим корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] Теперь подставим значения \( x \) в уравнение прямой \( y = -x + 1 \) и найдём \( y \): - Для \( x = 3 \): \[ y = -3 + 1 = -2 \] - Для \( x = 1 \): \[ y = -1 + 1 = 0 \] Итак, точки пересечения: \( (3, -2) \) и \( (1, 0) \). #### 2. Разность двух чисел равна 1, а их произведение равно 30. Найдите эти числа. Обозначим числа за \( x \) и \( y \), имеем систему: \[ \begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 30 \end{cases} \] Из первого уравнения \( x = y + 1 \). Подставляем во второе: \[ (y + 1)y = 30 \] \[ y^2 + y - 30 = 0 \] Решаем квадратное уравнение. Найдём корни через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \] \[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 11}{2} \] \[ y_1 = \frac{-1 + 11}{2} = 5, \quad y_2 = \frac{-1 - 11}{2} = -6 \] Подставляем \( y \) в уравнение \( x = y + 1 \): - Для \( y = 5 \): \( x = 5 + 1 = 6 \) - Для \( y = -6 \): \( x = -6 + 1 = -5 \) Таким образом, числа: \( (6, 5) \) и \( (-5, -6) \). #### 3. Решите графически систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ y = -x + 1 \end{cases} \] Приравниваем: \[ x^2 + 1 = -x + 1 \] \[ x^2 + x = 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(x + 1) = 0 \] Решения: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = -1 \] Подставляем в уравнение прямой для нахождения \( y \): - Для \( x = 0 \): \[ y = -0 + 1 = 1 \] - Для \( x = -1 \): \[ y = -(-1) + 1 = 2 \] Точки пересечения: \( (0, 1) \) и \( (-1, 2) \).