решить и расписать

Давайте разберём задачу по пунктам:

Вариант 1:

1. Найти координаты точек пересечения параболы \( y = x^2 - 5x + 4 \) и прямой \( y = -x + 1 \).

Чтобы найти точки пересечения графиков, нужно решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x^2 - 5x + 4 \\ y = -x + 1 \end{cases} \]

Приравниваем правые части уравнений, так как \( y \) одинаковое:

\[ x^2 - 5x + 4 = -x + 1 \]

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[ x^2 - 5x + 4 + x - 1 = 0 \]

Упрощаем:

\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Найдём его корни: Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

Находим корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2} \]

\[ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \]

Теперь подставим значения \( x \) в уравнение прямой \( y = -x + 1 \) и найдём \( y \):

• Для \( x = 3 \): \[ y = -3 + 1 = -2 \]

• Для \( x = 1 \): \[ y = -1 + 1 = 0 \]

Итак, точки пересечения: \( (3, -2) \) и \( (1, 0) \).

2. Разность двух чисел равна 1, а их произведение равно 30. Найдите эти числа.

Обозначим числа за \( x \) и \( y \), имеем систему:

\[ \begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 30 \end{cases} \]

Из первого уравнения \( x = y + 1 \). Подставляем во второе:

\[ (y + 1)y = 30 \]

\[ y^2 + y - 30 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение. Найдём корни через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]

\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 11}{2} \]

\[ y_1 = \frac{-1 + 11}{2} = 5, \quad y_2 = \frac{-1 - 11}{2} = -6 \]

Подставляем \( y \) в уравнение \( x = y + 1 \):

• Для \( y = 5 \): \( x = 5 + 1 = 6 \)
• Для \( y = -6 \): \( x = -6 + 1 = -5 \)

Таким образом, числа: \( (6, 5) \) и \( (-5, -6) \).

3. Решите графически систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ y = -x + 1 \end{cases} \]

Приравниваем:

\[ x^2 + 1 = -x + 1 \]

\[ x^2 + x = 0 \]

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(x + 1) = 0 \]

Решения:

\[ x_1 = 0, \quad x_2 = -1 \]

Подставляем в уравнение прямой для нахождения \( y \):

• Для \( x = 0 \): \[ y = -0 + 1 = 1 \]

• Для \( x = -1 \): \[ y = -(-1) + 1 = 2 \]

Точки пересечения: \( (0, 1) \) и \( (-1, 2) \).