реши
Для решения задачи необходимо найти косинус угла между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).
Шаги решения:
Определение координат векторов:
Из рисунка видим:
- Вектор \(\mathbf{a}\) направлен от начала координат к точке \( (0, 2) \).
- Вектор \(\mathbf{b}\) направлен от начала координат к точке \( (2, 0) \).
Таким образом, координаты векторов: \[ \mathbf{a} = (0, 2), \quad \mathbf{b} = (2, 0) \]
Формула косинуса угла между векторами:
Косинус угла \(\alpha\) между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) находится по формуле: \[ \cos \alpha = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \] где:
- \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) — скалярное произведение векторов,
- \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — длины векторов.
Скалярное произведение векторов:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y = 0 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 0 \]
Длины векторов:
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2 \] \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \]
Подстановка в формулу:
\[ \cos \alpha = \frac{0}{2 \cdot 2} = 0 \]
Результат:
Косинус угла между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) равен 0, что соответствует углу \(90^\circ\). Векторы \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) перпендикулярны друг другу.
