Найти значение выражения 5vosa + 6sina/3sina - 7cosa если tga=1/2
Чтобы решить задачу, давайте начнем с того, что в выражении упоминаются тригонометрические функции: синус (sin), косинус (cos) и тангенс (tan). Мы знаем, что:
\[ \tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} \]
Согласно заданным параметрам, у нас есть \( \tan(a) = \frac{1}{2} \). Это означает, что:
\[ \frac{\sin(a)}{\cos(a)} = \frac{1}{2} \]
Отсюда можно выразить \( \sin(a) \) и \( \cos(a) \). Пусть \( \cos(a) = x \) (где \( x \) — это какое-то значение), тогда:
\[ \sin(a) = \frac{1}{2}x \]
Теперь используем основное тригонометрическое преобразование:
\[ \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 \]
Подставим в это уравнение значения \( \sin(a) \) и \( \cos(a) \):
\[ \left(\frac{1}{2}x\right)^2 + x^2 = 1 \] \[ \frac{1}{4}x^2 + x^2 = 1 \] \[ \frac{1}{4}x^2 + \frac{4}{4}x^2 = 1 \] \[ \frac{5}{4}x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{4}{5} \] \[ x = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]
Таким образом, у нас \( \cos(a) = \frac{2\sqrt{5}}{5} \).
Теперь найдем \( \sin(a) \):
\[ \sin(a) = \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]
Теперь у нас есть значения:
- \( \sin(a) = \frac{\sqrt{5}}{5} \)
- \( \cos(a) = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
Теперь можно подставить эти значения в данное выражение:
\[ 5 \cdot \text{(cos)}(a) + \frac{6 \cdot \text{(sin)}(a)}{3 \cdot \text{(sin)}(a)} - 7 \cdot \text{(cos)}(a) \]
Подставляем значения:
\[ 5 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}}{3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}} - 7 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} \]
Упростим каждую часть:
Первая часть: \[ 5 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \]
Вторая часть: \[ \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}}{3 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{6}{3} = 2 \]
Третья часть: \[ -7 \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\frac{14\sqrt{5}}{5} \]
Теперь соберем всё вместе:
\[ 2\sqrt{5} + 2 - \frac{14\sqrt{5}}{5} \]
Для упрощения поднимем \( 2\sqrt{5} \) на 5:
\[ 2\sqrt{5} = \frac{10\sqrt{5}}{5} \]
Теперь выражение принимает вид:
\[ \frac{10\sqrt{5}}{5} - \frac{14\sqrt{5}}{5} + 2 = \frac{10\sqrt{5} - 14\sqrt{5}}{5} + 2 \] \[ = \frac{-4\sqrt{5}}{5} + 2 \]
Таким образом, окончательное значение выражения:
\[ 2 - \frac{4\sqrt{5}}{5} \]
Это и есть ответ. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
