Давайте решим каждую из систем уравнений по очереди.
Задание номер один
Система уравнений:
- ( x^2 - 3y = 4 )
- ( y - 2x = -3 )
Шаг 1: Выразим переменную.
Из второго уравнения выразим ( y ):
[
y = 2x - 3
]
Шаг 2: Подставим выражение для ( y ) в первое уравнение.
Подставляем ( y = 2x - 3 ) в первое уравнение:
[
x^2 - 3(2x - 3) = 4
]
Раскроем скобки:
[
x^2 - 6x + 9 = 4
]
Шаг 3: Приведем подобные.
[
x^2 - 6x + 5 = 0
]
Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения.
Формула для решения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
В нашем случае ( a = 1, b = -6, c = 5 ):
[
x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}
]
[
x = \frac{6 \pm 4}{2}
]
Корни:
[
x_1 = 5, \quad x_2 = 1
]
Шаг 5: Найдем соответствующие значения ( y ).
Для ( x_1 = 5 ):
[
y = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7
]
Для ( x_2 = 1 ):
[
y = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1
]
Решение:
Пары чисел: ((5, 7)) и ((1, -1)).
Задание номер два
Система уравнений:
- ( 3x^2 - 2x = y )
- ( 3x - 2 = y )
Шаг 1: Приравняем правые части.
[
3x^2 - 2x = 3x - 2
]
Шаг 2: Приведем уравнение к стандартному виду.
[
3x^2 - 2x - 3x + 2 = 0 \implies 3x^2 - 5x + 2 = 0
]
Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения.
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad (a = 3, b = -5, c = 2)
]
[
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{6} = \frac{5 \pm 1}{6}
]
Корни:
[
x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{2}{3}
]
Шаг 4: Найдем соответствующие ( y ).
Для ( x_1 = 1 ):
[
y = 3(1) - 2 = 1
]
Для ( x_2 = \frac{2}{3} ):
[
y = 3 \cdot \frac{2}{3} - 2 = 2 - 2 = 0
]
Решение:
Пары чисел: ((1, 1)) и (\left(\frac{2}{3}, 0\right)).
Задание номер три
Система уравнений:
- ( x^2 + y^2 = 9 )
- ( x + y = -3 )
Шаг 1: Выразим ( y ) через ( x ).
[
y = -3 - x
]
Шаг 2: Подставим в первое уравнение.
[
x^2 + (-3 - x)^2 = 9
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + (9 + 6x + x^2) = 9
]
Упростим:
[
2x^2 + 6x + 9 - 9 = 0 \implies 2x^2 + 6x = 0
]
Шаг 3: Выносим общий множитель.
[
2x(x + 3) = 0
]
Корни:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = -3
]
Шаг 4: Найдем соответствующие ( y ).
Для ( x = 0 ):
[
y = -3 - 0 = -3
]
Для ( x = -3 ):
[
y = -3 - (-3) = 0
]
Решение:
Пары чисел: ((0, -3)) и ((-3, 0)).
Задание номер четыре
Система уравнений:
- ( y - x = -7 )
- ( x \cdot y = 18 )
Шаг 1: Выразим ( y ).
[
y = x - 7
]
Шаг 2: Подставим в уравнение произведения.
[
x(x - 7) = 18
]
Упростим:
[
x^2 - 7x - 18 = 0
]
Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения.
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad (a = 1, b = -7, c = -18)
]
[
x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2}
]
Корни:
[
x_1 = 9, \quad x_2 = -2
]
Шаг 4: Найдем соответствующие ( y ).
Для ( x_1 = 9 ):
[
y = 9 - 7 = 2
]
Для ( x_2 = -2 ):
[
y = -2 - 7 = -9
]
Решение:
Пары чисел: ((9, 2)) и ((-2, -9)).
Таким образом, мы решили все задачи по заданной системе. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, дайте знать!
