2-?
Давайте разберем задачи на изображении по порядку.
Задача 1: Найдите суммы и произведение корней уравнения \( x^2 - 10x + 7 = 0 \).
Это квадратичное уравнение стандартного вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 1 \), \( b = -10 \), \( c = 7 \).
Для любого квадратного уравнения сумма корней \( x_1 + x_2 \) равна \(-b/a\), а произведение корней \( x_1 \cdot x_2 \) равно \( c/a\).
Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-10}{1} = 10 \]
Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{7}{1} = 7 \]
Ответ: Сумма корней — 10, произведение корней — 7.
Задача 2: Найти стороны прямоугольника.
Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м².
Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \).
Периметр прямоугольника:
\[ 2a + 2b = 62 \implies a + b = 31 \]Площадь прямоугольника:
\[ a \cdot b = 210 \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( a + b = 31 \)
- \( a \cdot b = 210 \)
Чтобы решить эту систему, можно выразить одну переменную через другую из первого уравнения и подставить во второе:
\[ b = 31 - a \]
Подставляем во второе уравнение:
\[ a \cdot (31 - a) = 210 \implies a(31 - a) = 210 \implies 31a - a^2 = 210 \]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[ a^2 - 31a + 210 = 0 \]
Теперь решаем квадратное уравнение. Найдем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot 1 \cdot 210 = 961 - 840 = 121 \]
Корни уравнения:
\[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ a_{1,2} = \frac{31 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{31 \pm 11}{2} \]
Получаем два корня:
- \( a_1 = \frac{31 + 11}{2} = 21 \)
- \( a_2 = \frac{31 - 11}{2} = 10 \)
Таким образом, стороны прямоугольника — 21 м и 10 м.
Задача 3: Одно число меньше другого на 8. Найдите эти числа, если их произведение равно 16.
Обозначим числа как \( x \) и \( x + 8 \).
Условие задачи даёт нам уравнение:
\[ x(x + 8) = 16 \]
\[ x^2 + 8x - 16 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 64 + 64 = 128 \]
Теперь вычислим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{128}}{2} \]
Упростим корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm 8\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 4\sqrt{2} \]
Следовательно, числа:
- \( x_1 = -4 + 4\sqrt{2} \)
- \( x_2 = -4 - 4\sqrt{2} \)
Ответ: Числа — \(-4 + 4\sqrt{2}\) и \(4\sqrt{2} - 4\).
