найти первообразную : f (x) = 4/корень x + 2/ x ^8

Для нахождения первообразной (или неопределённого интеграла) функции \( f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{2}{x^8} \) давайте разберем каждую часть отдельно и применим правила интегрирования.

Шаг 1: Запишем функцию в удобной форме

Функцию можно переписать, используя степени:

• \( \frac{4}{\sqrt{x}} \) можно записать как \( 4x^{-1/2} \).
• \( \frac{2}{x^8} \) можно записать как \( 2x^{-8} \).

Таким образом, мы получаем: \[ f(x) = 4x^{-1/2} + 2x^{-8} \]

Шаг 2: Находим первообразную

Теперь будем находить первообразную каждого слагаемого функции.

1. Первая часть: \( 4x^{-1/2} \)

Используем правило интегрирования \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \), где \( n \neq -1 \):

\[ \int 4x^{-1/2} \, dx = 4 \cdot \frac{x^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} = 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4 \cdot 2x^{1/2} = 8\sqrt{x} \]

2. Вторая часть: \( 2x^{-8} \)

Применяем то же самое правило:

\[ \int 2x^{-8} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{(-8)+1}}{-8+1} = 2 \cdot \frac{x^{-7}}{-7} = -\frac{2}{7}x^{-7} \]

Шаг 3: Соберем всё вместе

Теперь мы можем суммировать полученные первообразные:

\[ \int f(x) \, dx = 8\sqrt{x} - \frac{2}{7}x^{-7} + C \]

Итог

Таким образом, первообразная функции \( f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{2}{x^8} \) равна:

\[ \int f(x) \, dx = 8\sqrt{x} - \frac{2}{7}x^{-7} + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная интегрирования.