Для нахождения первообразной (или неопределённого интеграла) функции ( f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{2}{x^8} ) давайте разберем каждую часть отдельно и применим правила интегрирования.
Шаг 1: Запишем функцию в удобной форме
Функцию можно переписать, используя степени:
- ( \frac{4}{\sqrt{x}} ) можно записать как ( 4x^{-1/2} ).
- ( \frac{2}{x^8} ) можно записать как ( 2x^{-8} ).
Таким образом, мы получаем:
[
f(x) = 4x^{-1/2} + 2x^{-8}
]
Шаг 2: Находим первообразную
Теперь будем находить первообразную каждого слагаемого функции.
1. Первая часть: ( 4x^{-1/2} )
Используем правило интегрирования ( \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ), где ( n \neq -1 ):
[
\int 4x^{-1/2} , dx = 4 \cdot \frac{x^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} = 4 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4 \cdot 2x^{1/2} = 8\sqrt{x}
]
2. Вторая часть: ( 2x^{-8} )
Применяем то же самое правило:
[
\int 2x^{-8} , dx = 2 \cdot \frac{x^{(-8)+1}}{-8+1} = 2 \cdot \frac{x^{-7}}{-7} = -\frac{2}{7}x^{-7}
]
Шаг 3: Соберем всё вместе
Теперь мы можем суммировать полученные первообразные:
[
\int f(x) , dx = 8\sqrt{x} - \frac{2}{7}x^{-7} + C
]
Итог
Таким образом, первообразная функции ( f(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{2}{x^8} ) равна:
[
\int f(x) , dx = 8\sqrt{x} - \frac{2}{7}x^{-7} + C
]
где ( C ) — произвольная постоянная интегрирования.
