4. Найдите синус, косинус, тангенс углов А и В прямоугольного треугольника АВС, если: а) AC = 3, AB = 5; 6) AC=10, BC=8; в) ВС = 3√3, AB=6√2

Чтобы найти синусы, косинусы и тангенсы углов A и B в прямоугольном треугольнике ABC, нам сначала нужно найти длины сторон и воспользоваться определениями тригонометрических функций.

а) AC = 3, AB = 5

1. Находим BC по теореме Пифагора: \[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4. \]

2. Теперь находим синусы, косинусы и тангенсы углов A и B:

   • Угол A: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}, \quad \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3}. \]
   • Угол B: \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5}, \quad \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}, \quad \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{4}. \]

б) AC = 10, BC = 8

1. Находим AB по теореме Пифагора: \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}. \]

2. Теперь находим синусы, косинусы и тангенсы углов A и B:

   • Угол A: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}, \quad \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}. \]
   • Угол B: \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{10}{2\sqrt{41}} = \frac{5}{\sqrt{41}}, \quad \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{2\sqrt{41}} = \frac{4}{\sqrt{41}}, \quad \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}. \]

в) BC = 3√3, AB = 6√2

1. Находим AC по теореме Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{72 - 27} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}. \]

2. Теперь находим синусы, косинусы и тангенсы углов A и B:

   • Угол A: \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}, \quad \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}. \]
   • Угол B: \[ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{3\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}, \quad \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}, \quad \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}. \]

Теперь у вас есть значения синусов, косинусов и тангенсов для каждого угла в треугольниках!