Обозначим скорость моторной лодки в стоячей воде как ( v ) км/ч. Тогда скорость лодки против течения будет ( v - 2 ) км/ч, а скорость лодки по течению – ( v + 2 ) км/ч.
По условию задачи лодка прошла против течения 57 км и обратно.
Время, затраченное на путь против течения (время в пути на расстояние 57 км против течения) вычисляется по формуле:
[
t_1 = \frac{57}{v - 2}
]
Время, затраченное на путь по течению (время в пути на расстояние 57 км по течению):
[
t_2 = \frac{57}{v + 2}
]
Согласно условию, время на обратный путь на 48 минут меньше, чем время на путь против течения. Переведем 48 минут в часы, так как скорости у нас в км/ч:
[
48 \text{ минут} = \frac{48}{60} \text{ часов} = 0.8 \text{ часов}
]
Таким образом, мы можем записать уравнение:
[
t_1 - t_2 = 0.8
]
Подставим формулы для времени:
[
\frac{57}{v - 2} - \frac{57}{v + 2} = 0.8
]
Чтобы решить это уравнение, найдем общий знаменатель:
[
\frac{57(v + 2) - 57(v - 2)}{(v - 2)(v + 2)} = 0.8
]
Упрощая числитель:
[
\frac{57v + 114 - 57v + 114}{(v - 2)(v + 2)} = 0.8
]
Это упрощается до:
[
\frac{228}{(v - 2)(v + 2)} = 0.8
]
Теперь умножим обе стороны на ((v - 2)(v + 2)):
[
228 = 0.8(v^2 - 4)
]
Раскроем скобки:
[
228 = 0.8v^2 - 3.2
]
Переносим 228 на другую сторону:
[
0.8v^2 - 3.2 - 228 = 0
]
[
0.8v^2 - 231.2 = 0
]
Теперь умножим все на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
[
8v^2 - 2312 = 0
]
Решим это уравнение относительно ( v ):
[
8v^2 = 2312
]
[
v^2 = \frac{2312}{8} = 289
]
[
v = \sqrt{289} = 17
]
Таким образом, скорость лодки в стоячей воде составляет 17 км/ч.
