Y = 4x ^ 8 - 12x ^ 2 + 8 7 = 4/x - 4sqrt(x) + 2 y = sinx(2x - 3) y = (13x - 2)/(5x + 6) решить уравнения с производной

Давайте разберемся с задачей, которая включает несколько уравнений, и найдем их производные. Мы будем проходить через каждую функцию по очереди и находить производную, а также объяснять, как мы это делаем. ### 1. Уравнение: \( y = 4x^8 - 12x^2 + 8 \) **Шаг 1: Найдем производную \( y' \)** Используем правило дифференцирования для степени: \( \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \). - Производная \( 4x^8 \): \[ \frac{d}{dx}(4x^8) = 4 \cdot 8x^{8-1} = 32x^7 \] - Производная \( -12x^2 \): \[ \frac{d}{dx}(-12x^2) = -12 \cdot 2x^{2-1} = -24x \] - Производная константы \( 8 \): \[ \frac{d}{dx}(8) = 0 \] **Итак, полная производная:** \[ y' = 32x^7 - 24x \] ### 2. Уравнение: \( 7 = \frac{4}{x} - 4\sqrt{x} + 2 \) **Шаг 1: Приведем все члены уравнения в одну сторону:** \[ 0 = \frac{4}{x} - 4\sqrt{x} - 5 \] **Шаг 2: Найдем производную:** Записывая уравнение в форме \( f(x) = \frac{4}{x} - 4\sqrt{x} - 5 \): - Производная \( \frac{4}{x} \): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right) = -\frac{4}{x^2} \] - Производная \( -4\sqrt{x} \): \[ \frac{d}{dx}(-4\sqrt{x}) = -4 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{x}} \] - Производная константы \( -5 \): \[ \frac{d}{dx}(-5) = 0 \] **Итак, полная производная:** \[ f'(x) = -\frac{4}{x^2} - \frac{2}{\sqrt{x}} \] ### 3. Уравнение: \( y = \sin(x)(2x - 3) \) **Шаг 1: Найдем производную с использованием правила произведения:** \[ (uv)' = u'v + uv' \] Здесь: - \( u = \sin(x) \) и \( v = 2x - 3 \) - \( u' = \cos(x) \) - \( v' = 2 \) Теперь применим правило произведения: \[ y' = \cos(x)(2x - 3) + \sin(x)(2) \] или упрощая: \[ y' = \cos(x)(2x - 3) + 2\sin(x) \] ### 4. Уравнение: \( y = \frac{13x - 2}{5x + 6} \) **Шаг 1: Найдем производную с использованием правила частного:** \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Здесь: - \( u = 13x - 2 \) и \( v = 5x + 6 \) - \( u' = 13 \) - \( v' = 5 \) Теперь применим правило частного: \[ y' = \frac{(13)(5x + 6) - (13x - 2)(5)}{(5x + 6)^2} \] Упростим числитель: \[ = \frac{65x + 78 - (65x - 10)}{(5x + 6)^2} = \frac{65x + 78 - 65x + 10}{(5x + 6)^2} = \frac{88}{(5x + 6)^2} \] ### Итоговые производные: 1. \( y' = 32x^7 - 24x \) 2. \( f'(x) = -\frac{4}{x^2} - \frac{2}{\sqrt{x}} \) 3. \( y' = \cos(x)(2x - 3) + 2\sin(x) \) 4. \( y' = \frac{88}{(5x + 6)^2} \) Если есть дополнительные вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!