y = 4x ^ 8 - 12x ^ 2 + 8 7 = 4/x - 4sqrt(x) + 2 y = sinx(2x - 3) y = (13x - 2)/(5x + 6) решить уравнения с производной

Давайте разберемся с задачей, которая включает несколько уравнений, и найдем их производные. Мы будем проходить через каждую функцию по очереди и находить производную, а также объяснять, как мы это делаем.

1. Уравнение: \( y = 4x^8 - 12x^2 + 8 \)

Шаг 1: Найдем производную \( y' \)
Используем правило дифференцирования для степени: \( \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \).

• Производная \( 4x^8 \): \[ \frac{d}{dx}(4x^8) = 4 \cdot 8x^{8-1} = 32x^7 \]

• Производная \( -12x^2 \): \[ \frac{d}{dx}(-12x^2) = -12 \cdot 2x^{2-1} = -24x \]

• Производная константы \( 8 \): \[ \frac{d}{dx}(8) = 0 \]

Итак, полная производная: \[ y' = 32x^7 - 24x \]

2. Уравнение: \( 7 = \frac{4}{x} - 4\sqrt{x} + 2 \)

Шаг 1: Приведем все члены уравнения в одну сторону: \[ 0 = \frac{4}{x} - 4\sqrt{x} - 5 \]

Шаг 2: Найдем производную:

Записывая уравнение в форме \( f(x) = \frac{4}{x} - 4\sqrt{x} - 5 \):

• Производная \( \frac{4}{x} \): \[ \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x}\right) = -\frac{4}{x^2} \]

• Производная \( -4\sqrt{x} \): \[ \frac{d}{dx}(-4\sqrt{x}) = -4 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{x}} \]

• Производная константы \( -5 \): \[ \frac{d}{dx}(-5) = 0 \]

Итак, полная производная: \[ f'(x) = -\frac{4}{x^2} - \frac{2}{\sqrt{x}} \]

3. Уравнение: \( y = \sin(x)(2x - 3) \)

Шаг 1: Найдем производную с использованием правила произведения: \[ (uv)' = u'v + uv' \]

Здесь:

• \( u = \sin(x) \) и \( v = 2x - 3 \)
• \( u' = \cos(x) \)
• \( v' = 2 \)

Теперь применим правило произведения: \[ y' = \cos(x)(2x - 3) + \sin(x)(2) \] или упрощая: \[ y' = \cos(x)(2x - 3) + 2\sin(x) \]

4. Уравнение: \( y = \frac{13x - 2}{5x + 6} \)

Шаг 1: Найдем производную с использованием правила частного: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Здесь:

• \( u = 13x - 2 \) и \( v = 5x + 6 \)
• \( u' = 13 \)
• \( v' = 5 \)

Теперь применим правило частного: \[ y' = \frac{(13)(5x + 6) - (13x - 2)(5)}{(5x + 6)^2} \]

Упростим числитель: \[ = \frac{65x + 78 - (65x - 10)}{(5x + 6)^2} = \frac{65x + 78 - 65x + 10}{(5x + 6)^2} = \frac{88}{(5x + 6)^2} \]

Итоговые производные:

1. \( y' = 32x^7 - 24x \)
2. \( f'(x) = -\frac{4}{x^2} - \frac{2}{\sqrt{x}} \)
3. \( y' = \cos(x)(2x - 3) + 2\sin(x) \)
4. \( y' = \frac{88}{(5x + 6)^2} \)

Если есть дополнительные вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!