Чтобы решить задачу о математических маятниках, начнем с применения формулы для периода колебания маятника:
[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} ]
где:
- ( T ) — период колебания,
- ( L ) — длина маятника,
- ( g ) — ускорение свободного падения (в данном случае ( g = 10 , \text{м/с}^2 )).
Шаг 1: Найдем отношения периодов
Сначала найдем период каждого из маятников. Нам известно, что первый маятник совершает 15 колебаний, а второй — 9 колебаний за одно и то же время. Период колебания можно выразить как:
Шаг 2: Найдем отношения длин маятников
Теперь подставим периоды в формулу.
[
T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}} = \frac{t}{15}
]
[
T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}} = \frac{t}{9}
]
Мы можем исключить ( t ) и записать соотношение между периодами:
[
\frac{T_1}{T_2} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}
]
Теперь, используя соотношение периодов:
[
\frac{2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}}} = \frac{5}{3}
]
Сократив ( 2\pi ) и ( g ), получаем:
[
\frac{\sqrt{L_1}}{\sqrt{L_2}} = \frac{5}{3}
]
Возведем обе части в квадрат:
[
\frac{L_1}{L_2} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}
]
Отсюда можно выразить длину первого маятника:
[
L_1 = \frac{25}{9} L_2
]
Шаг 3: Введем разницу длин
Из условия задачи нам также известно, что:
[
L_1 - L_2 = 32 , \text{см}
]
Теперь подставим выражение для ( L_1 ):
[
\frac{25}{9} L_2 - L_2 = 32
]
[
\frac{25L_2 - 9L_2}{9} = 32
]
[
\frac{16L_2}{9} = 32
]
Умножим обе стороны на 9:
[
16L_2 = 288
]
Теперь найдем ( L_2 ):
[
L_2 = \frac{288}{16} = 18 , \text{см}
]
Шаг 4: Нахождение ( L_1 )
Теперь можем найти ( L_1 ):
[
L_1 = \frac{25}{9} \cdot 18
]
[
L_1 = 25 \cdot 2 = 50 , \text{см}
]
Ответ
Таким образом, длина первого маятника ( L_1 ) составляет 50 см.
