За одно и то же время один математический маятник совершает 15 колебаний, а другой 9. Найдите длину первого маятника, если разница в длинах маятников составляет 32 см. Ответ…

Чтобы решить задачу о математических маятниках, начнем с применения формулы для периода колебания маятника:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

где:

• \( T \) — период колебания,
• \( L \) — длина маятника,
• \( g \) — ускорение свободного падения (в данном случае \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \)).

Шаг 1: Найдем отношения периодов

Сначала найдем период каждого из маятников. Нам известно, что первый маятник совершает 15 колебаний, а второй — 9 колебаний за одно и то же время. Период колебания можно выразить как:

• Для первого маятника: \[ T_1 = \frac{t}{15} \]

• Для второго маятника: \[ T_2 = \frac{t}{9} \]

Шаг 2: Найдем отношения длин маятников

Теперь подставим периоды в формулу.

\[ T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}} = \frac{t}{15} \] \[ T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}} = \frac{t}{9} \]

Мы можем исключить \( t \) и записать соотношение между периодами: \[ \frac{T_1}{T_2} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} \]

Теперь, используя соотношение периодов: \[ \frac{2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}}} = \frac{5}{3} \]

Сократив \( 2\pi \) и \( g \), получаем: \[ \frac{\sqrt{L_1}}{\sqrt{L_2}} = \frac{5}{3} \]

Возведем обе части в квадрат: \[ \frac{L_1}{L_2} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9} \]

Отсюда можно выразить длину первого маятника: \[ L_1 = \frac{25}{9} L_2 \]

Шаг 3: Введем разницу длин

Из условия задачи нам также известно, что: \[ L_1 - L_2 = 32 \, \text{см} \]

Теперь подставим выражение для \( L_1 \): \[ \frac{25}{9} L_2 - L_2 = 32 \] \[ \frac{25L_2 - 9L_2}{9} = 32 \] \[ \frac{16L_2}{9} = 32 \] Умножим обе стороны на 9: \[ 16L_2 = 288 \] Теперь найдем \( L_2 \): \[ L_2 = \frac{288}{16} = 18 \, \text{см} \]

Шаг 4: Нахождение \( L_1 \)

Теперь можем найти \( L_1 \): \[ L_1 = \frac{25}{9} \cdot 18 \] \[ L_1 = 25 \cdot 2 = 50 \, \text{см} \]

Ответ

Таким образом, длина первого маятника \( L_1 \) составляет 50 см.