Решите систему уравнений

Давайте разберём решение системы уравнений: \[ \begin{cases} 2x^2 + 9y = 6, \\ 3x^2 + 4y = 5. \end{cases} \] Для решения этой системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод сложения. Здесь применим метод сложения. **Шаг 1:** Приведём обе системы к удобному виду. Перепишем уравнения: 1. \(2x^2 + 9y = 6\) 2. \(3x^2 + 4y = 5\) **Шаг 2:** Умножим уравнения на такие коэффициенты, чтобы при сложении один из коэффициентов у переменной уменьшаемого слагаемого обратился в ноль. Мы можем умножить первое уравнение на 3 и второе на 2, чтобы уравнять коэффициенты при \(x^2\): \[ \begin{cases} 3(2x^2 + 9y) = 3 \times 6, \\ 2(3x^2 + 4y) = 2 \times 5. \end{cases} \] Это даёт: \[ \begin{cases} 6x^2 + 27y = 18, \\ 6x^2 + 8y = 10. \end{cases} \] **Шаг 3:** Вычтем второе уравнение из первого: \[ (6x^2 + 27y) - (6x^2 + 8y) = 18 - 10. \] Это упрощается до: \[ 19y = 8. \] **Шаг 4:** Найдём \(y\): \[ y = \frac{8}{19}. \] **Шаг 5:** Подставим значение \(y\) обратно в одно из уравнений, например, в первое: \[ 2x^2 + 9\left(\frac{8}{19}\right) = 6. \] Раскроем скобки: \[ 2x^2 + \frac{72}{19} = 6. \] **Шаг 6:** Приведём правую часть к общему знаменателю: \[ 2x^2 = 6 - \frac{72}{19}. \] Вычисляем: \[ 2x^2 = \frac{114}{19} - \frac{72}{19}. \] \[ 2x^2 = \frac{42}{19}. \] **Шаг 7:** Найдём \(x^2\): \[ x^2 = \frac{42}{38}. \] Сократим дробь: \[ x^2 = \frac{21}{19}. \] **Шаг 8:** Найдём \(x\): \[ x = \pm \sqrt{\frac{21}{19}}. \] Итак, решения системы уравнений: \[ x = \pm \sqrt{\frac{21}{19}}, \quad y = \frac{8}{19}. \]