решите систему уравнений
Давайте разберём решение системы уравнений:
\[ \begin{cases} 2x^2 + 9y = 6, \\ 3x^2 + 4y = 5. \end{cases} \]
Для решения этой системы уравнений можно использовать метод подстановки или метод сложения. Здесь применим метод сложения.
Шаг 1: Приведём обе системы к удобному виду.
Перепишем уравнения:
- \(2x^2 + 9y = 6\)
- \(3x^2 + 4y = 5\)
Шаг 2: Умножим уравнения на такие коэффициенты, чтобы при сложении один из коэффициентов у переменной уменьшаемого слагаемого обратился в ноль.
Мы можем умножить первое уравнение на 3 и второе на 2, чтобы уравнять коэффициенты при \(x^2\):
\[ \begin{cases} 3(2x^2 + 9y) = 3 \times 6, \\ 2(3x^2 + 4y) = 2 \times 5. \end{cases} \]
Это даёт:
\[ \begin{cases} 6x^2 + 27y = 18, \\ 6x^2 + 8y = 10. \end{cases} \]
Шаг 3: Вычтем второе уравнение из первого:
\[ (6x^2 + 27y) - (6x^2 + 8y) = 18 - 10. \]
Это упрощается до:
\[ 19y = 8. \]
Шаг 4: Найдём \(y\):
\[ y = \frac{8}{19}. \]
Шаг 5: Подставим значение \(y\) обратно в одно из уравнений, например, в первое:
\[ 2x^2 + 9\left(\frac{8}{19}\right) = 6. \]
Раскроем скобки:
\[ 2x^2 + \frac{72}{19} = 6. \]
Шаг 6: Приведём правую часть к общему знаменателю:
\[ 2x^2 = 6 - \frac{72}{19}. \]
Вычисляем:
\[ 2x^2 = \frac{114}{19} - \frac{72}{19}. \]
\[ 2x^2 = \frac{42}{19}. \]
Шаг 7: Найдём \(x^2\):
\[ x^2 = \frac{42}{38}. \]
Сократим дробь:
\[ x^2 = \frac{21}{19}. \]
Шаг 8: Найдём \(x\):
\[ x = \pm \sqrt{\frac{21}{19}}. \]
Итак, решения системы уравнений:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{21}{19}}, \quad y = \frac{8}{19}. \]
