Какое наименьшее количество первых натуральных чисел надо сложить чтобы их сумма оказалась кратна 8

Чтобы определить, какое наименьшее количество первых натуральных чисел необходимо сложить, чтобы их сумма оказалась кратной 8, давайте будем следовать по шагам. 1. **Сумма первых `n` натуральных чисел**: Сумма первых `n` натуральных чисел дается формулой: \[ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \] где \( S_n \) — это сумма, а \( n \) — количество первых натуральных чисел. 2. **Кратность 8**: Мы хотим, чтобы сумма \( S_n \) была кратна 8, то есть \( S_n \mod 8 = 0 \). 3. **Проверим суммы для различных n**: - Для \( n = 1 \): \[ S_1 = \frac{1 \cdot (1 + 1)}{2} = 1 \] \( 1 \mod 8 = 1 \) — не кратно. - Для \( n = 2 \): \[ S_2 = \frac{2 \cdot (2 + 1)}{2} = 3 \] \( 3 \mod 8 = 3 \) — не кратно. - Для \( n = 3 \): \[ S_3 = \frac{3 \cdot (3 + 1)}{2} = 6 \] \( 6 \mod 8 = 6 \) — не кратно. - Для \( n = 4 \): \[ S_4 = \frac{4 \cdot (4 + 1)}{2} = 10 \] \( 10 \mod 8 = 2 \) — не кратно. - Для \( n = 5 \): \[ S_5 = \frac{5 \cdot (5 + 1)}{2} = 15 \] \( 15 \mod 8 = 7 \) — не кратно. - Для \( n = 6 \): \[ S_6 = \frac{6 \cdot (6 + 1)}{2} = 21 \] \( 21 \mod 8 = 5 \) — не кратно. - Для \( n = 7 \): \[ S_7 = \frac{7 \cdot (7 + 1)}{2} = 28 \] \( 28 \mod 8 = 4 \) — не кратно. - Для \( n = 8 \): \[ S_8 = \frac{8 \cdot (8 + 1)}{2} = 36 \] \( 36 \mod 8 = 4 \) — не кратно. - Для \( n = 9 \): \[ S_9 = \frac{9 \cdot (9 + 1)}{2} = 45 \] \( 45 \mod 8 = 5 \) — не кратно. - Для \( n = 10 \): \[ S_{10} = \frac{10 \cdot (10 + 1)}{2} = 55 \] \( 55 \mod 8 = 7 \) — не кратно. - Для \( n = 11 \): \[ S_{11} = \frac{11 \cdot (11 + 1)}{2} = 66 \] \( 66 \mod 8 = 2 \) — не кратно. - Для \( n = 12 \): \[ S_{12} = \frac{12 \cdot (12 + 1)}{2} = 78 \] \( 78 \mod 8 = 6 \) — не кратно. - Для \( n = 13 \): \[ S_{13} = \frac{13 \cdot (13 + 1)}{2} = 91 \] \( 91 \mod 8 = 3 \) — не кратно. - Для \( n = 14 \): \[ S_{14} = \frac{14 \cdot (14 + 1)}{2} = 105 \] \( 105 \mod 8 = 1 \) — не кратно. - Для \( n = 15 \): \[ S_{15} = \frac{15 \cdot (15 + 1)}{2} = 120 \] \( 120 \mod 8 = 0 \) — кратно! 4. **Ответ**: Таким образом, наименьшее количество первых натуральных чисел, которые необходимо сложить, чтобы их сумма оказалась кратной 8, равно \( 15 \).