Давайте разберем каждую из задач поэтапно, чтобы понять, как их решать.
Задача 1: Найдите приращение функции в точке
Функция: ( f(x) = 2x - 3 )
Точка: ( x = -2 )
Приращение: ( \Delta x = 0.1 )
Шаги:
Сначала найдем значение функции в точке ( x = -2):
[
f(-2) = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7
]
Затем найдем значение функции в новой точке, полученной добавлением приращения:
[
x + \Delta x = -2 + 0.1 = -1.9
]
[
f(-1.9) = 2(-1.9) - 3 = -3.8 - 3 = -6.8
]
Теперь найдем приращение функции:
[
\Delta f = f(-1.9) - f(-2) = -6.8 - (-7) = -6.8 + 7 = 0.2
]
Ответ: Приращение функции в данной точке равно ( 0.2 ).
Задача 2: Найдите приращения функции в точках
Функция: ( f(x) = 4x - x^2 )
Точки: ( x = 2.5 ), ( x = 2.6 )
Шаги:
Сначала найдем значение функции в точке ( x = 2.5 ):
[
f(2.5) = 4(2.5) - (2.5)^2 = 10 - 6.25 = 3.75
]
Затем найдем значение функции в точке ( x = 2.6 ):
[
f(2.6) = 4(2.6) - (2.6)^2 = 10.4 - 6.76 = 3.64
]
Теперь находим приращение функции:
[
\Delta f = f(2.6) - f(2.5) = 3.64 - 3.75 = -0.11
]
Ответ: Приращение функции между точками ( x = 2.5 ) и ( x = 2.6 ) равно ( -0.11 ).
Задача 3: Найдите производную функции в точке по определению
Функция: ( f(x) = 3x^2 )
Точка: ( x = 1 )
Для нахождения производной по определению используем формулу:
[
f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}
]
Шаги:
Находим ( f(1) ):
[
f(1) = 3(1^2) = 3
]
Теперь подставляем ( a = 1 ):
[
f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3(1 + \Delta x)^2 - 3}{\Delta x}
]
Раскроем скобки:
[
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3((1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2) - 1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3(2\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x}
]
Упростим:
[
f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} 3(2 + \Delta x) = 6
]
Ответ: Производная функции ( f(x) = 3x^2 ) в точке ( x = 1 ) равна ( 6 ).
Задача 4: Найдите мгновенную скорость точки
Закон движения: ( x(t) = t^2 - 21 )
Момент времени: ( t_0 = 3 )
Чтобы найти мгновенную скорость, нужно найти производную функции ( x(t) ).
Шаги:
Найдем производную ( x(t) ):
[
v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 21) = 2t
]
Подставим ( t = 3 ) для нахождения мгновенной скорости в этот момент:
[
v(3) = 2(3) = 6
]
Ответ: Мгновенная скорость точки в момент времени ( t = 3 ) равна ( 6 ).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь задавать!
