Вариант 1. 1. Найдите приращение функции f в точке ссли f(x)=2x-3, x = -2, Ar=0,1 2. Найдите приращения и в точке х, если f(x)=4x-x2, x = 2,5, x=2,6. 3. Найдите производную…

Давайте разберем каждую из задач поэтапно, чтобы понять, как их решать.

Задача 1: Найдите приращение функции в точке

Функция: \( f(x) = 2x - 3 \)
Точка: \( x = -2 \)
Приращение: \( \Delta x = 0.1 \)

Шаги:

1. Сначала найдем значение функции в точке \( x = -2\): \[ f(-2) = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7 \]

2. Затем найдем значение функции в новой точке, полученной добавлением приращения: \[ x + \Delta x = -2 + 0.1 = -1.9 \] \[ f(-1.9) = 2(-1.9) - 3 = -3.8 - 3 = -6.8 \]

3. Теперь найдем приращение функции: \[ \Delta f = f(-1.9) - f(-2) = -6.8 - (-7) = -6.8 + 7 = 0.2 \]

Ответ: Приращение функции в данной точке равно \( 0.2 \).

Задача 2: Найдите приращения функции в точках

Функция: \( f(x) = 4x - x^2 \)
Точки: \( x = 2.5 \), \( x = 2.6 \)

Шаги:

1. Сначала найдем значение функции в точке \( x = 2.5 \): \[ f(2.5) = 4(2.5) - (2.5)^2 = 10 - 6.25 = 3.75 \]

2. Затем найдем значение функции в точке \( x = 2.6 \): \[ f(2.6) = 4(2.6) - (2.6)^2 = 10.4 - 6.76 = 3.64 \]

3. Теперь находим приращение функции: \[ \Delta f = f(2.6) - f(2.5) = 3.64 - 3.75 = -0.11 \]

Ответ: Приращение функции между точками \( x = 2.5 \) и \( x = 2.6 \) равно \( -0.11 \).

Задача 3: Найдите производную функции в точке по определению

Функция: \( f(x) = 3x^2 \)
Точка: \( x = 1 \)

Для нахождения производной по определению используем формулу: \[ f'(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x} \]

Шаги:

1. Находим \( f(1) \): \[ f(1) = 3(1^2) = 3 \]

2. Теперь подставляем \( a = 1 \): \[ f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3(1 + \Delta x)^2 - 3}{\Delta x} \]

3. Раскроем скобки: \[ = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3((1 + 2\Delta x + (\Delta x)^2) - 1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{3(2\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} \]

4. Упростим: \[ f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} 3(2 + \Delta x) = 6 \]

Ответ: Производная функции \( f(x) = 3x^2 \) в точке \( x = 1 \) равна \( 6 \).

Задача 4: Найдите мгновенную скорость точки

Закон движения: \( x(t) = t^2 - 21 \)
Момент времени: \( t_0 = 3 \)

Чтобы найти мгновенную скорость, нужно найти производную функции \( x(t) \).

Шаги:

1. Найдем производную \( x(t) \): \[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 21) = 2t \]

2. Подставим \( t = 3 \) для нахождения мгновенной скорости в этот момент: \[ v(3) = 2(3) = 6 \]

Ответ: Мгновенная скорость точки в момент времени \( t = 3 \) равна \( 6 \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь задавать!