Для решения данной задачи рассмотрим известные формулы для потенциальной энергии ( E_p ) и кинетической энергии ( E_k ) тела:
Потенциальная энергия при высоте ( h ):
[
E_p = mgh
]
где:
- ( m ) — масса тела,
- ( g ) — ускорение свободного падения (в данном случае ( g = 10 , \text{м/с}^2 )),
- ( h ) — высота над землёй.
Кинетическая энергия при скорости ( v ):
[
E_k = \frac{1}{2}mv^2
]
Когда тело падает с высоты ( h_0 = 12 , \text{м} ), его потенциальная энергия на этой высоте равна:
[
E_{p_0} = mg h_0 = mg \cdot 12
]
Когда тело упадет на высоту ( h ), его потенциальная энергия будет равна:
[
E_p = mgh
]
Кинетическая энергия тела на высоте ( h ) будет равна разнице между первоначальной потенциальной энергией на высоте ( h_0 ) и потенциальной энергией на высоте ( h ):
[
E_k = E_{p_0} - E_p = mg h_0 - mgh = mg(12 - h)
]
В задаче необходимо найти высоту ( h ), на которой кинетическая энергия тела в три раза больше его потенциальной энергии. То есть:
[
E_k = 3E_p
]
Подставим наши выражения для энергий в это равенство:
[
mg(12 - h) = 3mgh
]
Теперь можем сократить массу ( m ) (предполагаем, что она не равна нулю):
[
g(12 - h) = 3gh
]
Сократим ( g ) (предполагаем, что оно также не равно нулю):
[
12 - h = 3h
]
Теперь решим это уравнение:
[
12 = 4h
]
[
h = \frac{12}{4} = 3 , \text{м}
]
Таким образом, высота ( h ), на которой кинетическая энергия тела в три раза больше его потенциальной энергии, равна:
[
\boxed{3 , \text{м}}
]
