Для решения предела (\lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x) + 2x + \sin(3x)}{x}) мы будем использовать свойства пределов, а также некоторые известные пределы для тригонометрических функций.
Шаг 1: Разложим функции в числителе
При (x \to 0) у нас можно воспользоваться разложением Тейлора для малых значений (x):
- (\tan(4x) \approx 4x + \frac{(4x)^3}{3} + O(x^5))
- (\sin(3x) \approx 3x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5))
Теперь подставим эти приближения в наш предел.
Шаг 2: Подставим разложения в предел
[
\tan(4x) + 2x + \sin(3x) \approx \left(4x + \frac{(4x)^3}{3}\right) + 2x + \left(3x - \frac{(3x)^3}{6}\right)
]
Соберем всё вместе:
[
= (4x + 2x + 3x) + \left( \frac{(4x)^3}{3} - \frac{(3x)^3}{6} \right) = 9x + \left( \frac{64x^3}{3} - \frac{27x^3}{6} \right)
]
Шаг 3: Упрощаем дробь
Теперь, чтобы привести всё к общему виду, заметим, что в первом члене мы можем взять только линейные члены, поскольку при вычислении предела мы должны учитывать только члены, ведущие к нулю, когда (x \to 0):
[
\frac{9x + O(x^3)}{x}
]
Шаг 4: Разделим на (x)
Теперь делим каждый член на (x):
[
\frac{9x}{x} + \frac{O(x^3)}{x} = 9 + O(x^2) \to 9 \text{ при } x \to 0
]
Шаг 5: Находим предел
Теперь, когда (x \to 0):
[
\lim_{x \to 0} \left( 9 + O(x^2) \right) = 9
]
Ответ
Таким образом, наш предел равен:
[
\boxed{9}
]
Это и есть конечный результат!
