lim (tg4x+/ 2x + sin 3 x/x) x→0

Для решения предела \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x) + 2x + \sin(3x)}{x}\) мы будем использовать свойства пределов, а также некоторые известные пределы для тригонометрических функций.

Шаг 1: Разложим функции в числителе

При \(x \to 0\) у нас можно воспользоваться разложением Тейлора для малых значений \(x\):

• \(\tan(4x) \approx 4x + \frac{(4x)^3}{3} + O(x^5)\)
• \(\sin(3x) \approx 3x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5)\)

Теперь подставим эти приближения в наш предел.

Шаг 2: Подставим разложения в предел

\[ \tan(4x) + 2x + \sin(3x) \approx \left(4x + \frac{(4x)^3}{3}\right) + 2x + \left(3x - \frac{(3x)^3}{6}\right) \]

Соберем всё вместе:

\[ = (4x + 2x + 3x) + \left( \frac{(4x)^3}{3} - \frac{(3x)^3}{6} \right) = 9x + \left( \frac{64x^3}{3} - \frac{27x^3}{6} \right) \]

Шаг 3: Упрощаем дробь

Теперь, чтобы привести всё к общему виду, заметим, что в первом члене мы можем взять только линейные члены, поскольку при вычислении предела мы должны учитывать только члены, ведущие к нулю, когда \(x \to 0\):

\[ \frac{9x + O(x^3)}{x} \]

Шаг 4: Разделим на \(x\)

Теперь делим каждый член на \(x\):

\[ \frac{9x}{x} + \frac{O(x^3)}{x} = 9 + O(x^2) \to 9 \text{ при } x \to 0 \]

Шаг 5: Находим предел

Теперь, когда \(x \to 0\):

\[ \lim_{x \to 0} \left( 9 + O(x^2) \right) = 9 \]

Ответ

Таким образом, наш предел равен:

\[ \boxed{9} \]

Это и есть конечный результат!