Решить неравенства 9х²-12х+4-8х²+12≥0

Чтобы решить неравенство \( 9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 12 \geq 0 \), начнем с упрощения левой части. ### Шаг 1: Упростим выражение Сначала объединим подобные члены: \[ 9x^2 - 8x^2 - 12x + 4 + 12 \geq 0 \] Это дает: \[ (9x^2 - 8x^2) + (-12x) + (4 + 12) \geq 0 \] После упрощения получим: \[ x^2 - 12x + 16 \geq 0 \] ### Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения Для решения неравенства преобразуем его в уравнение: \[ x^2 - 12x + 16 = 0 \] Используем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\) для нахождения корней: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 144 - 64 = 80 \] Корни уравнения можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения \(a = 1\), \(b = -12\), и \(D = 80\): \[ x = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2} \] Упростим \(\sqrt{80}\): \[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \] Теперь подставим это обратно в формулу: \[ x = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{5} \] Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = 6 - 2\sqrt{5}, \quad x_2 = 6 + 2\sqrt{5} \] ### Шаг 3: Исследуем знаки Теперь найдем, на каких интервалах функция \(x^2 - 12x + 16\) больше или равна нулю. Это делается с помощью тестирования знаков на интервалах: 1. \(x < 6 - 2\sqrt{5}\) 2. \(6 - 2\sqrt{5} \leq x \leq 6 + 2\sqrt{5}\) 3. \(x > 6 + 2\sqrt{5}\) Тестируем значения из каждого интервала. - Для \(x < 6 - 2\sqrt{5}\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 - 12 \cdot 0 + 16 = 16 \geq 0 \quad (\text{истина}) \] - Для \(6 - 2\sqrt{5} < x < 6 + 2\sqrt{5}\) (например, \(x = 6\)): \[ 6^2 - 12 \cdot 6 + 16 = 36 - 72 + 16 = -20 < 0 \quad (\text{ложь}) \] - Для \(x > 6 + 2\sqrt{5}\) (например, \(x = 10\)): \[ 10^2 - 12 \cdot 10 + 16 = 100 - 120 + 16 = -4 < 0 \quad (\text{ложь}) \] ### Шаг 4: Запишем ответ Таким образом, неравенство выполняется на интервале: \[ x \leq 6 - 2\sqrt{5} \quad \text{или} \quad x \geq 6 + 2\sqrt{5} \] ### Окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, 6 - 2\sqrt{5}] \cup [6 + 2\sqrt{5}, +\infty) \] Это решение неравенства. Если нужно, можем обсудить или объяснить что-то более подробно.