решить неравенства 9х²-12х+4-8х²+12≥0
Чтобы решить неравенство \( 9x^2 - 12x + 4 - 8x^2 + 12 \geq 0 \), начнем с упрощения левой части.
Шаг 1: Упростим выражение
Сначала объединим подобные члены:
\[ 9x^2 - 8x^2 - 12x + 4 + 12 \geq 0 \]
Это дает:
\[ (9x^2 - 8x^2) + (-12x) + (4 + 12) \geq 0 \]
После упрощения получим:
\[ x^2 - 12x + 16 \geq 0 \]
Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения
Для решения неравенства преобразуем его в уравнение:
\[ x^2 - 12x + 16 = 0 \]
Используем дискриминант \(D = b^2 - 4ac\) для нахождения корней:
\[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 144 - 64 = 80 \]
Корни уравнения можно найти по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения \(a = 1\), \(b = -12\), и \(D = 80\):
\[ x = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2} \]
Упростим \(\sqrt{80}\):
\[ \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \]
Теперь подставим это обратно в формулу:
\[ x = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{5} \]
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = 6 - 2\sqrt{5}, \quad x_2 = 6 + 2\sqrt{5} \]
Шаг 3: Исследуем знаки
Теперь найдем, на каких интервалах функция \(x^2 - 12x + 16\) больше или равна нулю. Это делается с помощью тестирования знаков на интервалах:
- \(x < 6 - 2\sqrt{5}\)
- \(6 - 2\sqrt{5} \leq x \leq 6 + 2\sqrt{5}\)
- \(x > 6 + 2\sqrt{5}\)
Тестируем значения из каждого интервала.
Для \(x < 6 - 2\sqrt{5}\) (например, \(x = 0\)): \[ 0^2 - 12 \cdot 0 + 16 = 16 \geq 0 \quad (\text{истина}) \]
Для \(6 - 2\sqrt{5} < x < 6 + 2\sqrt{5}\) (например, \(x = 6\)): \[ 6^2 - 12 \cdot 6 + 16 = 36 - 72 + 16 = -20 < 0 \quad (\text{ложь}) \]
Для \(x > 6 + 2\sqrt{5}\) (например, \(x = 10\)): \[ 10^2 - 12 \cdot 10 + 16 = 100 - 120 + 16 = -4 < 0 \quad (\text{ложь}) \]
Шаг 4: Запишем ответ
Таким образом, неравенство выполняется на интервале:
\[ x \leq 6 - 2\sqrt{5} \quad \text{или} \quad x \geq 6 + 2\sqrt{5} \]
Окончательный ответ:
\[ x \in (-\infty, 6 - 2\sqrt{5}] \cup [6 + 2\sqrt{5}, +\infty) \]
Это решение неравенства. Если нужно, можем обсудить или объяснить что-то более подробно.
