x^4-36x^2+324=0
Давайте решим уравнение \( x^4 - 36x^2 + 324 = 0 \) и разберём весь процесс по шагам.
Шаг 1: Подстановка
Уравнение имеет степень 4, что может усложнять его решение. Чтобы упростить его, мы можем сделать замену переменной. Давайте сделаем подстановку:
Пусть \( y = x^2 \). Тогда \( x^4 \) можно записать как \( y^2 \), и наше уравнение превращается в:
\[ y^2 - 36y + 324 = 0 \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь мы имеем квадратное уравнение \( y^2 - 36y + 324 = 0 \). Мы можем решить его с помощью дискриминанта.
- Вычислим дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 324 \]
- Давайте посчитаем:
\[ D = 1296 - 1296 = 0 \]
Так как дискриминант равен 0, у уравнения есть один корень.
- Находим корень по формуле:
\[ y = \frac{-b}{2a} = \frac{36}{2 \cdot 1} = 18 \]
Шаг 3: Возвращаемся к переменной \( x \)
Теперь мы нашли \( y = 18 \). Вернемся к нашей подстановке:
\[ x^2 = 18 \]
Шаг 4: Решение для \( x \)
Теперь извлекаем корни из уравнения \( x^2 = 18 \):
\[ x = \pm \sqrt{18} \]
Можно упростить \(\sqrt{18}\):
\[ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \]
Таким образом, решения уравнения будут:
\[ x = 3\sqrt{2} \quad \text{и} \quad x = -3\sqrt{2} \]
Ответ
Итак, решения уравнения \( x^4 - 36x^2 + 324 = 0 \) заключаются в:
\[ x = 3\sqrt{2}, \quad x = -3\sqrt{2} \]
Это и есть все шаги для решения данного уравнения. Если остались вопросы по какой-либо части, не стесняйтесь спрашивать!
