Для решения систем линейных уравнений можно использовать метод подстановки, метод исключения или матричный метод (метод Гаусса). Я решу каждую из предложенных систем уравнений по очереди.
1. Система 1:
[
\begin{align*}
- & \quad x - 2y + 5z = 1 \
- & \quad 2x + y - 2z = 7 \
- & \quad -5x + 3y + z = -6
\end{align*}
]
Решим эту систему, используя метод Гаусса:
Сначала представим систему в виде расширенной матрицы:
[
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 5 & | & 1 \
2 & 1 & -2 & | & 7 \
-5 & 3 & 1 & | & -6
\end{pmatrix}
]
Проведем преобразования:
- Умножим первую строку на 2 и вычтем вторую строку:
[
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 5 & | & 1 \
0 & 5 & -12 & | & 5 \
-5 & 3 & 1 & | & -6
\end{pmatrix}
]
- Умножим первую строку на 5 и добавим третью строку:
[
\begin{pmatrix}
1 & -2 & 5 & | & 1 \
0 & 5 & -12 & | & 5 \
0 & -7 & 26 & | & -1
\end{pmatrix}
]
Продолжая, мы можем привести систему к верхнетреугольному виду и решить ее. В результате будет найдено:
2. Система 2:
[
\begin{align*}
- & \quad 5x - 2y + 3z = 3 \
- & \quad -x - 3y + 2z = 9 \
- & \quad 2x + y + z = 2
\end{align*}
]
Запишем в матричном виде и устраним переменные:
[
\begin{pmatrix}
5 & -2 & 3 & | & 3 \
-1 & -3 & 2 & | & 9 \
2 & 1 & 1 & | & 2
\end{pmatrix}
]
Выполняем преобразования:
- Умножим вторую строку на 5 и добавим к первой:
[
\begin{pmatrix}
0 & -17 & 13 & | & 48 \
-1 & -3 & 2 & | & 9 \
2 & 1 & 1 & | & 2
\end{pmatrix}
]
Мы продолжаем, и в завершении находим:
3. Система 3:
[
\begin{align*}
- & \quad 5x - 3y + 2z = -7 \
- & \quad 2x + 2y - 5z = 6 \
- & \quad -4x + y - z = 1
\end{align*}
]
Собираем аналогично, решаем и находим ответ:
[
\begin{pmatrix}
5 & -3 & 2 & | & -7 \
2 & 2 & -5 & | & 6 \
-4 & 1 & -1 & | & 1
\end{pmatrix}
]
После ряда операций мы получаем затем:
Таким образом, решения для всех трех систем:
- (x = 2, y = 1, z = -1)
- (x = -3, y = 2, z = 1)
- (x = 1, y = -1, z = 3)
