Точка движется прямолинейно по закону s= 2t^3 + t^2 - 4. Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 4 с. 2. Точка движется прямолинейно по закону s = 2 - 8 t+ 4. В какой…

Для решения данных задач воспользуемся базовыми формулами кинематики.

Задача 1

Дана функция перемещения:
\[ s(t) = 2t^3 + t^2 - 4 \]

1. Найдем скорость \( v(t) \), которая является производной от перемещения по времени: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 + t^2 - 4) = 6t^2 + 2t \]

2. Найдем ускорение \( a(t) \), который является производной скорости по времени: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2 + 2t) = 12t + 2 \]

Теперь подставим \( t = 4 \) с в формулы для \( v(t) \) и \( a(t) \):

• Для скорости: \[ v(4) = 6(4)^2 + 2(4) = 6(16) + 8 = 96 + 8 = 104 \, \text{м/с} \]

• Для ускорения: \[ a(4) = 12(4) + 2 = 48 + 2 = 50 \, \text{м/с}^2 \]

Ответ:

Скорость в момент времени \( t = 4 \, \text{с} \) равна \( 104 \, \text{м/с} \), а ускорение - \( 50 \, \text{м/с}^2 \).

Задача 2

Дана функция перемещения:
\[ s(t) = 2 - 8t + 4 \]

Сначала упростим функцию: \[ s(t) = 6 - 8t \]

Теперь найдем скорость \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(6 - 8t) = -8 \]

Поскольку скорость не зависит от времени и постоянна, она всегда равна \( -8 \, \text{м/с} \). Это означает, что скорость точки не станет равной нулю в любой момент времени.

Ответ:

Скорость не станет равной нулю.

Задача 3

Дана функция перемещения:
\[ s(t) = 3t^2 + t + 4 \]

Найдем скорость \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 + t + 4) = 6t + 1 \]

Подставим \( t = 4 \) в формулу для скорости: \[ v(4) = 6(4) + 1 = 24 + 1 = 25 \, \text{м/с} \]

Теперь найдем кинетическую энергию \( E_k \): \[ E_k = \frac{mv^2}{2} \] где \( m = 10 \, \text{кг} \) и \( v = 25 \, \text{м/с} \): \[ E_k = \frac{10 \cdot (25)^2}{2} = \frac{10 \cdot 625}{2} = \frac{6250}{2} = 3125 \, \text{Дж} \]

Ответ:

Кинетическая энергия тела через 4 секунды равна \( 3125 \, \text{Дж} \).