Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у=9х+3х^2-х^3 на отрезке [-2;2]
Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( y = 9x + 3x^2 - x^3 \) на отрезке \([-2; 2]\) следуйте следующим шагам:
Шаг 1: Найдите производную функции
Для начала найдем производную функции \( y \). Производная функции даст нам возможность найти критические точки, где функция может достигать местных экстремумов.
\[ y' = \frac{d}{dx}(9x + 3x^2 - x^3) \]
Применяем правила дифференцирования:
\[ y' = 9 + 6x - 3x^2 \]
Шаг 2: Найдите критические точки
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\[ 9 + 6x - 3x^2 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ -3x^2 + 6x + 9 = 0 \]
Умножим на -1, чтобы избавится от отрицательных коэффициентов:
\[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 3 \), \( b = -6 \), \( c = -9 \).
Подставляем значения:
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-9)}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 108}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{144}}{6} \]
\[ x = \frac{6 \pm 12}{6} \]
Находим две критические точки:
- \( x = \frac{18}{6} = 3 \)
- \( x = \frac{-6}{6} = -1 \)
Шаг 3: Проверка критических точек и концов отрезка
Критических точек, которые находятся на отрезке \([-2; 2]\), всего одна: \( x = -1 \) (точка \( x = 3 \) не принадлежит отрезку).
Теперь вычислим значение функции в критической точке и в границах отрезка:
- \( x = -2 \):
\[ y(-2) = 9(-2) + 3(-2)^2 - (-2)^3 = -18 + 3 \cdot 4 + 8 = -18 + 12 + 8 = 2 \]
- \( x = -1 \):
\[ y(-1) = 9(-1) + 3(-1)^2 - (-1)^3 = -9 + 3 + 1 = -5 \]
- \( x = 2 \):
\[ y(2) = 9(2) + 3(2)^2 - (2)^3 = 18 + 3 \cdot 4 - 8 = 18 + 12 - 8 = 22 \]
Шаг 4: Сравните значения
Теперь у нас есть следующие значения функции:
- \( y(-2) = 2 \)
- \( y(-1) = -5 \)
- \( y(2) = 22 \)
Результат
На отрезке \([-2; 2]\):
- Наименьшее значение функции: \( -5 \) (в точке \( x = -1 \))
- Наибольшее значение функции: \( 22 \) (в точке \( x = 2 \))
Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 22 \), а наименьшее — \( -5 \).
