постройте график функции y=2x+1/2x2+.Определите при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку
Для решения данной задачи начнем с построения графика функции \( y = \frac{2x + 1}{2x^2} \). Затем определим, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) будет касаться графика данной функции в одной точке.
Шаг 1: Построим график функции
Функция \( y = \frac{2x + 1}{2x^2} \) состоит из числителя \( 2x + 1 \) и знаменателя \( 2x^2 \). Для того чтобы понять вид графика, необходимо исследовать поведение функции.
Определим область определения:
- Знаменатель \( 2x^2 \) не должен равняться нулю, поэтому \( x \neq 0 \).
- Область определения: \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \).
Найдем нули функции:
- Нули функции находятся, когда числитель равен нулю: \( 2x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -\frac{1}{2} \).
- Значит, точка пересечения с осью \( x \) будет в \( x = -\frac{1}{2} \).
Определим асимптоты:
- При \( x \to 0 \) функция стремится к бесконечности (разделение на ноль), значит, есть вертикальная асимптота в точке \( x = 0 \).
- При \( x \to \pm \infty \) множество \( \frac{2x + 1}{2x^2} \) стремится к нулю, следовательно, горизонтальная асимптота на оси \( y = 0 \).
Шаг 2: Исследуем касание прямой \( y = kx \) и графика функции
Чтобы найти значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) будет касаться графика функции \( y = \frac{2x + 1}{2x^2} \), необходимо решить уравнение:
\[ \frac{2x + 1}{2x^2} = kx \]
Удобнее переместить все на одну сторону:
\[ \frac{2x + 1}{2x^2} - kx = 0 \]
Приводим к общему знаменателю:
\[ 2x + 1 - 2kx^3 = 0 \]
Умножим всё на \( 2x^2 \) (при \( x \neq 0 \)):
\[ 2x + 1 - 2kx^3 = 0 \implies 2kx^3 - 2x - 1 = 0 \]
Шаг 3: Условия касания
Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком функции, необходимо, чтобы уравнение \( 2kx^3 - 2x - 1 = 0 \) имело ровно один корень. Это происходит в случае, если дискриминант уравнения кубической функции равен нулю.
Однако, чуть проще будет воспользоваться производной. Для касания необходимо, чтобы:
- Уравнение имело один корень \( x_0 \).
- Производная функции в этой точке равнялась производной прямой, т.е. \( f'(x_0) = k \).
Найдем производную:
\[ y = \frac{2x + 1}{2x^2} \]
Используем правило деления:
\[ f'(x) = \frac{(2)(2x^2) - (2x + 1)(4x)}{(2x^2)^2} \]
Упрощаем:
\[ f'(x) = \frac{4x^2 - (8x^2 + 4x)}{4x^4} = \frac{-4x^2 - 4x}{4x^4} = \frac{-x - 1}{x^3} \]
Теперь, приравняем производную к \( k \):
\[ k = \frac{-x - 1}{x^3} \]
Шаг 4: Определим \( k \)
Найдем значения \( k \), затем проанализируем их. Касательные будут находиться в точках, где производная равна нулю:
\[ -x - 1 = 0 \implies x = -1 \]
Подставим \( x = -1 \) в выражение для \( k \):
\[ k = \frac{-(-1) - 1}{(-1)^3} = \frac{1 - 1}{-1} = \frac{0}{-1} = 0 \]
Ответ
Таким образом, прямая \( y = kx \) будет касаться графика функции \( y = \frac{2x + 1}{2x^2} \) ровно в одной точке при значении \( k = 0 \).
