Постройте график функции y=2x+1/2x2+.Определите при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку

Для решения данной задачи начнем с построения графика функции \( y = \frac{2x + 1}{2x^2} \). Затем определим, при каких значениях \( k \) прямая \( y = kx \) будет касаться графика данной функции в одной точке. ### Шаг 1: Построим график функции Функция \( y = \frac{2x + 1}{2x^2} \) состоит из числителя \( 2x + 1 \) и знаменателя \( 2x^2 \). Для того чтобы понять вид графика, необходимо исследовать поведение функции. 1. **Определим область определения**: - Знаменатель \( 2x^2 \) не должен равняться нулю, поэтому \( x \neq 0 \). - Область определения: \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \). 2. **Найдем нули функции**: - Нули функции находятся, когда числитель равен нулю: \( 2x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -\frac{1}{2} \). - Значит, точка пересечения с осью \( x \) будет в \( x = -\frac{1}{2} \). 3. **Определим асимптоты**: - При \( x \to 0 \) функция стремится к бесконечности (разделение на ноль), значит, есть вертикальная асимптота в точке \( x = 0 \). - При \( x \to \pm \infty \) множество \( \frac{2x + 1}{2x^2} \) стремится к нулю, следовательно, горизонтальная асимптота на оси \( y = 0 \). ### Шаг 2: Исследуем касание прямой \( y = kx \) и графика функции Чтобы найти значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) будет касаться графика функции \( y = \frac{2x + 1}{2x^2} \), необходимо решить уравнение: \[ \frac{2x + 1}{2x^2} = kx \] Удобнее переместить все на одну сторону: \[ \frac{2x + 1}{2x^2} - kx = 0 \] Приводим к общему знаменателю: \[ 2x + 1 - 2kx^3 = 0 \] Умножим всё на \( 2x^2 \) (при \( x \neq 0 \)): \[ 2x + 1 - 2kx^3 = 0 \implies 2kx^3 - 2x - 1 = 0 \] ### Шаг 3: Условия касания Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с графиком функции, необходимо, чтобы уравнение \( 2kx^3 - 2x - 1 = 0 \) имело ровно один корень. Это происходит в случае, если дискриминант уравнения кубической функции равен нулю. Однако, чуть проще будет воспользоваться производной. Для касания необходимо, чтобы: 1. Уравнение имело один корень \( x_0 \). 2. Производная функции в этой точке равнялась производной прямой, т.е. \( f'(x_0) = k \). Найдем производную: \[ y = \frac{2x + 1}{2x^2} \] Используем правило деления: \[ f'(x) = \frac{(2)(2x^2) - (2x + 1)(4x)}{(2x^2)^2} \] Упрощаем: \[ f'(x) = \frac{4x^2 - (8x^2 + 4x)}{4x^4} = \frac{-4x^2 - 4x}{4x^4} = \frac{-x - 1}{x^3} \] Теперь, приравняем производную к \( k \): \[ k = \frac{-x - 1}{x^3} \] ### Шаг 4: Определим \( k \) Найдем значения \( k \), затем проанализируем их. Касательные будут находиться в точках, где производная равна нулю: \[ -x - 1 = 0 \implies x = -1 \] Подставим \( x = -1 \) в выражение для \( k \): \[ k = \frac{-(-1) - 1}{(-1)^3} = \frac{1 - 1}{-1} = \frac{0}{-1} = 0 \] ### Ответ Таким образом, прямая \( y = kx \) будет касаться графика функции \( y = \frac{2x + 1}{2x^2} \) ровно в одной точке при значении \( k = 0 \).