40. В правильной четырёхугольной пирамиде все ребра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер. 41. В правильной…

Задача 40

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение:

1. В правильной четырехугольной пирамиде все рёбра равны и образуют квадратное основание.

2. Длина каждого ребра (бокового и основание) равна 12. Значит, длина стороны основания (квадрата) \( a = 12 \).

3. Сечения пирамиды, проходящие через середины боковых рёбер, будут параллельны основанию.

4. Найдем координаты вершин. Пусть основание ABCD расположено в плоскости XY:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(12, 0, 0) \)
   • \( C(12, 12, 0) \)
   • \( D(0, 12, 0) \)
   • Вершина S будет на высоте, находящейся над центром основания. Поскольку все рёбра равны, высота можно определить следующим образом: \[ h = \sqrt{(6^2) - (6\sqrt{2})^2} = 6\sqrt{2} \]

5. Понимаем, что точка E, центр основания, имеет координаты \( E(6, 6, 0) \).

6. Половина боковых рёбер (середина) имеет координаты:

   • \( S = (6, 6, 3\sqrt{2}) \)

7. Площадь секущей плоскости равна площади прямоугольника, который составляет:

   • Так как плоскость проходит через середины боковых рёбер, длина одной стороны у нас 6.
   • Другие стороны, перпендикулярные сечению, находим тем же образом.

8. Следовательно, площадь сечения: \[ P = A \cdot B = 6 \cdot 6 = 36 \]

Задача 41

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 4. Найдите её объём.

Решение:

1. Формула объёма пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \] где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота.

2. Очевидно, что \( h = 3 \) и \( SC = 4 \).

3. Чтобы найти площадь основания, нужно определить длину стороны основания: \[ h' = \sqrt{SC^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] где \( a \) - сторона основания.

4. Решаем: \[ 3^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4^2 \Rightarrow 9 + \frac{a^2}{4} = 16 \] \[ \frac{a^2}{4} = 7 \Rightarrow a^2 = 28 \Rightarrow a = 2\sqrt{7} \]

5. Теперь находим площадь основания: \[ S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{7})^2 = 28 \]

6. Подставляем в формулу объёма: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot 3 = 28 \]

Задача 42

Условие: В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 29, сторона основания равна 21/2. Найдите объём пирамиды.

Решение:

1. Формула объёма: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \] где \( S_{осн} = \left(\frac{21}{2}\right)^2 \).

2. Находим площадь основания: \[ S_{осн} = \left(\frac{21}{2}\right)^2 = \frac{441}{4} \]

3. Высота h, используя тригонометрию: \[ h = \sqrt{SC^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} \] то есть: \[ h = \sqrt{29^2 - \left(\frac{21/2}{2}\right)^2} = \sqrt{841 - 110.25} = \sqrt{730.75} \approx 27.04 \]

4. Подставим в объем: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{441}{4} \cdot 27.04 = \frac{441 \cdot 27.04}{12} \approx 1067.24 \]

Задача 43

Условие: Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 132. Точка E середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

Решение:

1. Объём треугольной пирамиды EABC — это половина объёма основной пирамиды SABCD, так как высота у EABC будет в два раза меньше.
2. Поскольку E — это середина SB, объём треугольной пирамиды составляет: \[ V_{EABC} = \frac{1}{2} V_{SABCD} = \frac{1}{2} \cdot 132 = 66. \]

Таким образом, все задачи продемонстрировали основные принципы работы с правильными четырёхугольными пирамидами и зависимостью объёма от высоты и площади основания.