40. В правильной четырёхугольной пирамиде все ребра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
41. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 4. Найдите её объём.
42. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 29, сторона основания равна 21/2. Найдите объём пирамиды.
43. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 132. Точка Е середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.
### Задача 40
**Условие:** В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.
**Решение:**
1. В правильной четырехугольной пирамиде все рёбра равны и образуют квадратное основание.
2. Длина каждого ребра (бокового и основание) равна 12. Значит, длина стороны основания (квадрата) \( a = 12 \).
3. Сечения пирамиды, проходящие через середины боковых рёбер, будут параллельны основанию.
4. Найдем координаты вершин. Пусть основание ABCD расположено в плоскости XY:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(12, 0, 0) \)
- \( C(12, 12, 0) \)
- \( D(0, 12, 0) \)
- Вершина S будет на высоте, находящейся над центром основания. Поскольку все рёбра равны, высота можно определить следующим образом:
\[
h = \sqrt{(6^2) - (6\sqrt{2})^2} = 6\sqrt{2}
\]
5. Понимаем, что точка E, центр основания, имеет координаты \( E(6, 6, 0) \).
6. Половина боковых рёбер (середина) имеет координаты:
- \( S = (6, 6, 3\sqrt{2}) \)
7. Площадь секущей плоскости равна площади прямоугольника, который составляет:
- Так как плоскость проходит через середины боковых рёбер, длина одной стороны у нас 6.
- Другие стороны, перпендикулярные сечению, находим тем же образом.
8. Следовательно, площадь сечения:
\[
P = A \cdot B = 6 \cdot 6 = 36
\]
### Задача 41
**Условие:** В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 4. Найдите её объём.
**Решение:**
1. Формула объёма пирамиды:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h
\]
где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота.
2. Очевидно, что \( h = 3 \) и \( SC = 4 \).
3. Чтобы найти площадь основания, нужно определить длину стороны основания:
\[
h' = \sqrt{SC^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]
где \( a \) - сторона основания.
4. Решаем:
\[
3^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 4^2 \Rightarrow 9 + \frac{a^2}{4} = 16
\]
\[
\frac{a^2}{4} = 7 \Rightarrow a^2 = 28 \Rightarrow a = 2\sqrt{7}
\]
5. Теперь находим площадь основания:
\[
S_{осн} = a^2 = (2\sqrt{7})^2 = 28
\]
6. Подставляем в формулу объёма:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot 28 \cdot 3 = 28
\]
### Задача 42
**Условие:** В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 29, сторона основания равна 21/2. Найдите объём пирамиды.
**Решение:**
1. Формула объёма:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h
\]
где \( S_{осн} = \left(\frac{21}{2}\right)^2 \).
2. Находим площадь основания:
\[
S_{осн} = \left(\frac{21}{2}\right)^2 = \frac{441}{4}
\]
3. Высота h, используя тригонометрию:
\[
h = \sqrt{SC^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}
\]
то есть:
\[
h = \sqrt{29^2 - \left(\frac{21/2}{2}\right)^2} = \sqrt{841 - 110.25} = \sqrt{730.75} \approx 27.04
\]
4. Подставим в объем:
\[
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{441}{4} \cdot 27.04 = \frac{441 \cdot 27.04}{12} \approx 1067.24
\]
### Задача 43
**Условие:** Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 132. Точка E середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.
**Решение:**
1. Объём треугольной пирамиды EABC — это половина объёма основной пирамиды SABCD, так как высота у EABC будет в два раза меньше.
2. Поскольку E — это середина SB, объём треугольной пирамиды составляет:
\[
V_{EABC} = \frac{1}{2} V_{SABCD} = \frac{1}{2} \cdot 132 = 66.
\]
Таким образом, все задачи продемонстрировали основные принципы работы с правильными четырёхугольными пирамидами и зависимостью объёма от высоты и площади основания.
