Давайте решим задачу о вычислении длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, отношения рёбер которого равны ( a:b:c = 1:2:4 ), при условии, что его объём равен ( 1000 , \text{см}^3 ).
Шаг 1: Обозначение рёбер
Сначала обозначим длины рёбер:
- Пусть ( a = x ) (первое ребро)
- Тогда ( b = 2x ) (второе ребро)
- И ( c = 4x ) (третье ребро)
Шаг 2: Формула для объёма
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:
[
V = a \times b \times c
]
Подставляем наши выражения для рёбер в эту формулу:
[
V = x \times (2x) \times (4x) = 8x^3
]
Шаг 3: Подстановка объёма
Согласно условию, объём параллелепипеда равен ( 1000 , \text{см}^3 ). Поэтому мы можем записать уравнение:
[
8x^3 = 1000
]
Шаг 4: Решение уравнения
Теперь решим это уравнение для ( x ):
- Делим обе стороны на 8:
[
x^3 = \frac{1000}{8} = 125
]
- Извлекаем кубический корень:
[
x = \sqrt[3]{125} = 5
]
Шаг 5: Нахождение длин рёбер
Теперь, зная ( x ), можем найти длины рёбер:
- ( a = x = 5 , \text{см} )
- ( b = 2x = 2 \times 5 = 10 , \text{см} )
- ( c = 4x = 4 \times 5 = 20 , \text{см} )
Итог
Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда:
- ( a = 5 , \text{см} )
- ( b = 10 , \text{см} )
- ( c = 20 , \text{см} )
Таким образом, мы нашли длины рёбер параллелепипеда, используя заданные соотношения и объём.
