Рёбра прямоугольного параллелепипеда относятся как a : b : c = 1 : 2 : 4 a:b:c=1:2:4. Вычислите длины рёбер, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 1000 1000 с м 3 см

Давайте решим задачу о вычислении длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, отношения рёбер которого равны \( a:b:c = 1:2:4 \), при условии, что его объём равен \( 1000 \, \text{см}^3 \).

Шаг 1: Обозначение рёбер

Сначала обозначим длины рёбер:

• Пусть \( a = x \) (первое ребро)
• Тогда \( b = 2x \) (второе ребро)
• И \( c = 4x \) (третье ребро)

Шаг 2: Формула для объёма

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \[ V = a \times b \times c \]

Подставляем наши выражения для рёбер в эту формулу: \[ V = x \times (2x) \times (4x) = 8x^3 \]

Шаг 3: Подстановка объёма

Согласно условию, объём параллелепипеда равен \( 1000 \, \text{см}^3 \). Поэтому мы можем записать уравнение: \[ 8x^3 = 1000 \]

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь решим это уравнение для \( x \):

1. Делим обе стороны на 8: \[ x^3 = \frac{1000}{8} = 125 \]
2. Извлекаем кубический корень: \[ x = \sqrt[3]{125} = 5 \]

Шаг 5: Нахождение длин рёбер

Теперь, зная \( x \), можем найти длины рёбер:

• \( a = x = 5 \, \text{см} \)
• \( b = 2x = 2 \times 5 = 10 \, \text{см} \)
• \( c = 4x = 4 \times 5 = 20 \, \text{см} \)

Итог

Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда:

• \( a = 5 \, \text{см} \)
• \( b = 10 \, \text{см} \)
• \( c = 20 \, \text{см} \)

Таким образом, мы нашли длины рёбер параллелепипеда, используя заданные соотношения и объём.